Oblicz długość łuku krzywej st: x=5cost(1+cost) y=5sint(1+cost) x'=−5sint−10sintcost y'=5cost+5cos²t−5sin²t ∫((−5sint−10sintcost)²+(5cost+5cos²t−5sin²t)²)^1/2dt=... po zredukowaniu otrzymałem ...=5√2∫(1+cost)^1/2dt

	t
Problem jest z ∫(1+cost)1/2dt podstawienie uniwersalne za u=tg		itd. nie pomaga (albo
	2

nie wiem jak to spod pierwiastka "wyciągnąć"). Raczej dobrze zredukowana funkcja podcałkowa.

Mila:

	t
∫(1+2cos2		−1)1/2dt=
	2

	t
=∫√2cos2t2 dt=√2∫|cos		|dt = ...
	2

st:

	t
opuszczam moduł bez zmian, bo t∊<0;2π> a cos2		≥0
	2

	t
...=2√2sin		+C
	2

	t		t
Zestawiając z wcześniejszą stałą 5√2*2√2sin		+C=20sin		+C
	2		2

Więc teoretycznie L=20sinπ−20sin0 Praktycznie wyszła bzdura, gdzie jest błąd? Dziękuję za pomoc.

g: Nie trzeba nic całkować. Punkt x = 5*cos(β), y = 5*sin(β) znajduje się na okręgu o środku 0,0 i promieniu 5. Zatem długość łuku to L = |β₂ − β₁|. β₁ = 0, β₂ = 2, L = 10.

g: Pomyłka! L = 5*|β₂−β₁|.

st: Mi tam ta krzywa okręgu nie przypomina, może się coś ostatnio zmieniło.

g: OK, znowu źle przeczytałem. Widziałem to jako 5*cos(1+cos t) i 5*sin(1+cos t).

g: Jeżeli pomijasz moduł z cos(t/2) to licz całkę tam gdzie cos jest dodatni, t.zn. w przedziale t ∊ (−π, +π). Wówczas L = 20 sin(π/2) − 20 sin(π/2) = 40.

Mila: Krzywa ( kardioida) jest symetryczna względem OX

	t
L=2*[20sin		]0π=
	2

	π
=2*[20sin		−20*sin0]=40
	2