wykaż Krzysiek: Liczby a,b,c,d ∊ ℤ Wykaż, że 12 | (a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)

Krzysiek:

Krzysiek:

Krzysiek:

Dżin: Liczby a,b,c,d są pewnymi wielokrotnościami szóstki, więc będę je zapisywał w postaci 6a+r. 1) Niech: a=6x+r₁ b=6y+r₂ c=6z+r₃ d=6g+r₄ x,y,z,g ∊ ℤ i r₁,r₂,r₃,r₄ ∊ {0;1;2;3;4;5} Wtedy: (a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)=[6*(x−y)+(r₁−r₂)][6*(x−z)+(r₁−r₃)][6*(x−g )+(r₁−r₄)][6*(y−z)+(r₂−r₃)][6*(y−g)+(r₂−r₄)][6*(z−g)+(r₃−r₄)] Mając taki zapis, dochodzę do wniosku, że różnica reszt musi być takiej liczbie, która jest dzielnikiem szóstki, lub po prostu jest równa 0, tak aby można było wyciągnąć przed nawias czynniki: 2 i 2 i 3, które po wymnożeniu dadzą liczbę 12. Dla dowolnych reszt zostanie uzyskana pożądana różnica, przykładowo: r₁=1 r₂=0 r₃=4 r₄=5 Wtedy uzyskamy różnice: r₁−r₂=1 r₁−r₃=−3 r₁−r₄=4 r₂−r₃=−4 r₂−r₄=−5 r₃−r₄=−1 a iloczyn będzie wyglądał tak: (a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)=[6*(x−y)+1][6*(x−z)−3][6*(x−g)+4][6*(y−z)−4][ 6*(y−g)−5][6*(z−g)−1]=3*2*2*[6*(x−y)+1][2*(x−z)−1][3*(x−g)+2][3*(y−z)−2][6*(y−g)−5][6*(z−g)−1]