równanie z x aldona: Rozwiąż równanie 48x(x+1)(x³−4)=(x⁴+8x+12)². Trzeba to podnosić do tych potęg?

6latek : Nie wiem czy należy Natomiast wiem to ze jeśli tego nie wiem to robie tak jak mogę czyli wymnzam po kole Potem dopiero jak to zrobie to dumam czy da rade zrobić inaczej Dostaniesz inny przykład i co ?

aldona: no wymnozyłam 48 x⁵+48 x⁴−192 x²−192 x=x⁸+16 x⁵+24 x⁴+64 x²+192 x+144 i przenisłam na jedną stronę −x⁸+32 x⁵+24 x⁴−256 x²−384 x−144 = 0. I tu pojawił sie problem no bo chyba nie będe sprawdzać wszystch dzielników 144? Może coś zle policzyłam, albo istnieje krótszy sposób?

Ajtek: Coś nie tak z tym mnożeniem.

aldona: a gdzie jest błąd w mnozeniu?

Przemysław: Zauważ: x⁴+8x+12=12(x+1)+x(x³−4) @6latek inny przykład też będzie ładnie dopasowany, a w ogólnym przypadku to i tak przybliżone rozwiązania królują, bo ogólnego wzoru nie ma i raczej nie będzie

6latek : Pewnie jesteś studentka wiec to jest dla mnie za trudne Myslalem żeby lewa strone wyjściowego rownnaia zwinąć jaks ze wzoru skroconego mnożenia ale ja tego nie widze

Mariusz: Proponuję po wymnożeniu skorzystać z NWD(W(x),W'(x)) a pozbędziesz się pierwiastków wielokrotnych

aldona: Przemysław sprytnie

Przemysław: 48x(x+1)(x³−4)=(x⁴+8x+12)² 48x(x+1)(x³−4)=x²(x³−4)²+144(x+1)²+24x(x+1)(x³−4) 0=x²(x³−4)²+144(x+1)²−24x(x+1)(x³−4) 0=(x(x³−4)−12(x+1))² 0=x(x³−4)−12(x+1) no nie?

aldona: Mariusz po co , a nie wystarczy teraz zwinąć to w kwadrat?

aldona: dzieki Przemysław już mozna zakończyc to....

Przemysław: Nie ma sprawy.

6latek : Raczej nikt z licealistów by na to nie wpadl

Mariusz: W(x)=(x⁴+8x+12)²−48x(x+1)(x³−4) W'(x)=2(x⁴+8x+12)*(4x³+8)−48((x²+x)(x³−4))' W'(x)=2(x⁴+8x+12)*(4x³+8)−48((2x+1)(x³−4)+3x²(x²+x)) NWD(W(x),W'(x)) liczysz biorąc kolejne reszty z dzielenia (algorytmem Eulkidesa)

	W(x)
Wielomian		będzie miał te same pierwiastki co
	NWD(W(x),W'(x))

wielomian W(x) tyle że pojedyncze

Mariusz: Przemysław ogólny wzór jest tyle że nie wyraża się przez pierwiastniki np równanie piątego stopnia można wyrazić za pomocą funkcji hipergeometrycznych

aldona: Mariusz, w liceum tego nie miałam a teraz to wydaje sie proste x⁴+8x+12=x⁴−4x+12x+12

aldona: Cos sie zapędziliscie to zdanie maturalne

Przemysław: @6latek Myślę, że w tym momencie nie doceniasz licealistów. Jak się patrzy na zadania z Olimpiady Matematycznej lub z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów to się można podłamać, że oni to rozwiązują @Mariusz Jeżeli byś mógł mi powiedzieć, czemu będzie miał te same pierwiastki ale pojedyncze? Znaczy się, słyszałem że tak jest, ale czemu? Czemu akurat pochodna tego wielomianu ma się dzielić przez ten nowy wielomian? Jeżeli możesz poświęcić chwilę na wytłumaczenie mi tego, to byłym wdzięczny A co do wzoru ogólnego, to czy dla dowolnego stopnia wielomianu jest jakiś wzór?

Mariusz: aldona .. po co ? 6latek już zdążył zauważyć że nie każdy to zauważy a to że krotność pierwiastków wielomianu jest o jeden większa od krotności pierwiastków pochodnej jest dość znane

Przemysław: @aldona Można zauważyć, że można rozpisać właśnie tak jak o 21:02, a można też podzielić wielomiany przez siebie i też ładnie wychodzi (i nie trzeba zauważać).

Mariusz: Pochodna nie dzieli ale NWD wielomianu i jego pochodnej dzieli wielomian Są wzory ale dla stopnia większego niż cztery wchodzą funkcje nieelementarne. Rozwiązanie przez pierwiastniki oznacza że do obliczenia pierwiastków wielomianu możesz używać tylko czterech działań arytmetycznych i wyciągania pierwiastków Takiego wzoru nie znajdziesz , ale jeśli dopuścisz funkcje nieelementarne to już wzory są Niestety nie widziałem w sieci artykułu który by to dokładnie opisywał Spróbuj wykazać że

W(x)
	ma te same pierwiastki co W(x) tylko pojedyncze
NWD(W(x),W'(x))

Przydaje się to także przy wydzielaniu części wymiernej całki z funkcji wymiernej metodą Ostrogradskiego

Przemysław: @Mariusz Dziękuję

Mariusz: Twój pomysł jest krótszy ale pewne rzeczy trzeba zauważyć a sposób usuwania pierwiastków wielokrotnych jest w każdych dobrych tablicach

Mariusz: Aldona jak masz równanie czwartego stopnia to możesz je rozwiązywać w ten sposób (x²−px+q)(x²+px+r)=x⁴−16x−12 albo x⁴−(16x+12)

	y		y2
(x2+		)2−(yx2+16x+		+12)\\
	2		4

(y²+48)y−256=0 y³+48y−256=0 64+192−256=0 256−256=0 (x²+2)²−(4x²+16x+16) (x²+2)²−(2x+4)² (x²−2x−2)(x²+2x+6)

Przemysław: @Mariusz W takich zadaniach można śmiało przypuszczać, że "jest czego szukać", więc przynajmniej to jest łatwiej A co do Twojego sposobu, to jest dobry, bo ogólniejszy, ale myślę, że łatwo się pomylić przy mnożeniu albo dzieleniu wielomianów (za to można zaprogramować go na przykład). Co do mojego pytania, to pytałem, bo miałem na ćwiczeniach jakieś zadanie typu "znajdź wielomian mający te same pierwiastki, co dany ale pojedyncze" i właśnie, że taką metodą jak Ty. A nie wiem, czemu akurat taki wielomian jest dobry. Jeżeli to nie problem, to prosiłbym Cię jeszcze o jakąś wskazówkę do dowodu

Mariusz: http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/algebra/2015/11/29/Pierwiastki_wielokrotne_wielomia/ a tutaj zastosowanie do całkowania funkcji wymiernych (po angielsku) http://www.cmeshepherd.com/urc/36-40-utilizing%20the%20hermite-ostrogradski.pdf

Przemysław: Dziękuję

Mariusz: Wspominałeś coś o programowaniu Pisałeś trochę w Pascalu lub w C ?