g.: wyznaczyć granice funkcji... 1. lim tg² x x→ - ∞ ------------- = ta definicja Heinego nic mi nie mówi... jaki tu będzie wynik? tg² 3x 2. lim ( 2x-5 )^x ( 2x + 1 -6 )^x (-6) x→ ∞ --------- = --------------- = [( 1+ ----- )^2x+1 ]^-6/2x+1 ( 2x+1)^x 2x+1 ( 2x+1) → e^-3 → 1/e³ w tym przykładzie potęga odnosi się do całości. nie potrafię takie dużego nawiasu napisać 3. (3x² -1 ) całość do potęgi ->(-2x³+1) ------------ (3x² +1) = [(1 + -2/3x²+1) do potęgi->3x²+1] do potęgi (-2x³+1) ------------- 3x²+1 (e^-2 )^-∞ być nie może... więc coś tu jest nie tak... 4. lim (x+1)^x x->∞ ------------ = ? (2x-1)^x pomocy!

gocha: mam problem z zadaniem oto tresc; Basia jest o 5 lat starsza od agi. Rok temu była dwa razy starsza od agi .Ile ma lat aga?

arek: x+5=y y-1=2x

g.: proszę pomóżcie

b.: 1. granica nie istnieje skonstrruj dwa ciągi x_n, y_n → -∞ takie, że lim f(x_n) ≠ lim f(y_n), gdzie f(x)=tg²x / tg²3x 2. w wykładniku literówka: masz -6/2x+1 a powinno być -6x/(2x+1 ), granicą jest -3. Poważniejsza rzecz: ( 1 + (-6)/(2x+1) )^2x+1 → e^-6, a nie do e!

b.: 3. być może wszystko jest ok, wynik: (e^-2)^-∞ = ∞, bo e^-2<1. 4. jest łatwiejsze niż 3 mamy ( (x+1) / (2x-1) )^x do czego dąży podstawa, a do czego wykładnik?

b.: aha w 3. nie napisałaś, ale granica jest przy x->∞, prawda? (tak odpowiadałem)

g.: 1. całkowicie tego nie rozumiem... proszę napisz jakiś podobny przykład, może mi się coś rozjaśni... 2. czemu -6x/(2x+1 )? "Poważniejsza rzecz: ( 1 + (-6)/(2x+1) )^2x+1 → e^-6, a nie do e!" przecież mam, że to się równa do e^-6... 3. tak granica → ∞. 4. to będzie (1/2)^x a x → ∞, tak więc całość do ∞ ? ja myślałam, że tak nie można... tak samo jak 1^-∞, że to niby wyr. nieoznaczone...

g.: 1. może coś takiego ma być? lim tg² x x→ -∞ ; ---------- = 1 - ( tg x / tg 3x)² = 1 - (i tu już nie wiem?) tg² 3x

b.: 2. ok, wynik jest poprawny i może Twoje obliczenia też, to co tu napisałaś nie do końca, ale może to błędy w przepisywaniu 3. nieoznaczone są 0⁰, 1^∞, ∞⁰ i chyba na tym koniec (z wyrażeń potęgowych). tutaj (1/2)^∞ = 0, a nie ∞ 1. spróbuj może z ciągami x_n = -nπ+π/4 y_n = -nπ+π/3+1/n wydaje mi się, że powinny być ok -- policz tu dla nich te granice, o których wcześniej pisałem. ciągi dość skomplikowane, ale nic prostszego mi nie przyszło do głowy -- ten przykład może nie jest najprzyjemniejszy

g.: 1. eh... to ja daruję sobie ten przykład... mam jeszcze jedną prośbę... zerknij na to: lim x→0 (1+ sinx)^2/x = [(1+ (-1)/sinx)^sinx ]^{2/x * sinx} →(e^-1)^? coś w tym kierunku?

b.: raczej 1+sinx = 1+ 1/ (1/sinx) w ten sposób będą pewne kłopoty, bo gdy x->0, to 1/sinx nie ma granicy (dąży do ∞, gdy x->0⁺, i do -∞ gdy x-?0^-) proponowałbym skorzystać z prostego, ale bardzo przydatnego wzoru a = e^{ln a} i napisać 1+sin x = e^{ln(1+sin x)}

g.: ln ( 1+ sinx) = 0 czyli e⁰ ? a co z 2/x?

g.: to nie ma być przypadkiem e^{2/x*ln(1+sinx)} czyli e⁰ ?

g.: czemu moje posty się coraz bardziej zmniejszają ?

b.: Nie, ln(1+sinx) nie równa się 0 na ogół. Właśnie, co z 2/x? Skoro 1+sin x = e^{ln(1+sin x)} to (1+sin x)^2/x = (e ^ln(1+sinx))^2/x = e ^{ln(1+sinx) * 2/x} Zamiast liczyć granicę tej ostatniej funkcji, wystarczy policzyć granicę wykładnika (nie wyjdzie 0 ).

b.: o własnie tak ma być są błędy w skrypcie, ∞ w wykładniku sprawia kłopot: np. zamiast 1^∞ trzeba pisać 1^{∞} (wziąć w nawiasy ∞) miejmy nadzieję, że Jakub to naprawi -- zgłosiłem mu pomyłkę rozwiązanie tymczasowe: zwiększ czcionkę w przeglądarce (Ctrl+ w firefoksie)

g.: hmmm, to ile jest ln(1+sin x) ? za x = 0 czyli ln 1 = 1? tak?

g.:

b.: ale czy tam jest tylko ln(1+sin x)? a co z 2/x? czy to nie jest czasem 2/0?

g.: tak wiem, że jest właśnie, czyli 0 podstawić nie mogę...?

g.: o proszę już normalna czcionka

b.: no jest 0/0, więc nie możesz podstawić -- musisz sobie poradzić inaczej tak, Kuba poprawił

g.: a mogę tak? 2 * ln(1+sin x) * 1/x (a 1/x ->0)... ale to też mi chyba zbyt dużo nie da:(

b.: może pomnóż i podziel przez sinx: ... = 2 * [ ln(1+sin x) / sinx ] * [ sin x/x ]

g.: a skąd się wzięło sin x/x?

g.: jeżeli mnożę to nie powinno być 2* (1+(sinx)²) * sinx/x ?

b.: ale tam jest logarytm, a nie samo 1+sin x tak jak napisałem jest dobrze: jak skrócisz sinx, zostanie to co było do czego dążą wyrażenia w nawiasach [...] ?

g.: [ ln(1+sin x) / sinx ] to będzie ln1=0, bo sinusy mogę skrócić? sinx/x 0?

g.: nie mogę skrócić sinusów....

g.: no ale to jest błędne koło bo będzie ln(1/sinx) czyli 1/0 ?

b.: nie będzie ln(1/sinx) -- skąd? nie możesz sinusów skrócić tak jak w poście z 6 lis 21:49 ln(1+sin x) / sin x -> 1 przy x->0, bo sinx->0 trzeba tu wiedzieć, że lim_y->0 ln(1+y) / y = 1 i podstawić y=sinx (sinx->0 gdy x->0, więc jest ok) wynik ostateczny: 2*1*1 = 2

roman: ln(5)

lina: lim (√x+a - √x) x→∞ pomocy

%3Cpre%3E%3Cb%3Elina%3A%3C%2Fb%3E%20lim%20(%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Acourier%22%3E%26radic%3B%3C%2Fspan%3E%3Cspan%20style%3D%22text-decoration%3A%20overline%22%3Ex%2Ba%3C%2Fspan%3E%20-%20%3Cspan%20style%3D%22font-family%3Acourier%22%3E%26radic%3B%3C%2Fspan%3E%3Cspan%20style%3D%22text-decoration%3A%20overline%22%3Ex%3C%2Fspan%3E)%0A%20%20%20%20%20%20x%E2%86%92%3Cspan%20style%3D%22font-size%3A15px%22%3E%E2%88%9E%3C%2Fspan%3E%0Apomocy%20%3Cimg%20style%3D%22margin-bottom%3A-3px%22%20src%3D%22emots%2F1%2Fmruga.gif%22%3E%0A%3C%2Fpre%3E

sa: ile to jest granica z 1/ 0 wydaje mi sie ze ∞ ale nie jestem pewna

%3Cpre%3E%3Cb%3Esa%3A%3C%2Fb%3E%20ile%20to%20jest%20granica%20z%201%2F%200%20%3Cimg%20style%3D%22margin-bottom%3A-3px%22%20src%3D%22emots%2F1%2Fwesoly.gif%22%3E%20wydaje%20mi%20sie%20ze%20%3Cspan%20style%3D%22font-size%3A15px%22%3E%E2%88%9E%3C%2Fspan%3E%20ale%20nie%20jestem%20pewna%0A%3C%2Fpre%3E

qwe: x(3x - y)

pa: lim 2x-3-1 x

Kuba: lin_x→0 x / ln x

tomek: e^2x

Saper pwr: Proszę pomóżcie mam obliczyć taka granicę nie mam pojęcia jak to zrobić lim_x→+∞ ln(acrctgx)^1/x

Grzeslooo: Ja też poproszę o pomoc z obliczeniem L'Hospitala e²x-1/2x

Grzeslooo: Ja też poproszę o pomoc z obliczeniem L'Hospitala e²x-1/2x kiedy x->0

krzysiek: witam mam problem z: lim (arcsinx)^sinx x→0⁺ z góry dziękuję

Moreia: polecam program do liczenia takich różnych rzeczy http://www.wolframalpha.com/ miłej zabawy

Basia: f(x) = (arcsinx)^sinx szukamy lim_x→0⁺ ln[f(x)] = lim_x→0⁺ ln[ (arcsinx)^sinx ] = lim_x→0⁺ [sinx*ln[arcsinx] =

	ln[arcsinx]		−∞
limx→0+		=		= ( l.H)
	1   sinx		+∞

	1   1   * arcsinx   √1−x2
limx→0+		=
	1   − *cosx   sin2x

	1		sin2x
limx→0+ −		*		=
	√1−x2*arcsinx		cosx

	1		sin2x
limx→0+ −		* limx→0+		=
	√1−x2		arcsinx*cosx

	1		sin2x
−		* limx→0+		= (l.H)
	√1−0		arcsinx*cosx

	2sinx*cosx
− limx→0+		=
	1   *cosx − sinx*arcsinx √1−x2

	2*0*1		0
−		= −		= 0
	1   *1−0*0 √1−0		1−0

stąd lim_x→0⁺ f(x) = 1

Basia: takie różne rzeczy trzeba umieć policzyć, a nie wynik przepisać z wolframy