liczby Eta: Zadania tylko dla maturzystów zad1/ Wykaż,że liczba n(n+1)(n+2)(n+3)+1 jest kwadratem liczby naturalnej zad2/ Wykaż,że liczba 2²⁰¹⁶−2016 jest podzielna przez 5 zad3/ Wykaż,że liczba 2016²+2015²+2015²*2016² jest kwadratem liczby naturalnej zad4/ Wykaż,że liczba √37−20√3+√13−4√3 jest parzysta Powodzenia

Jack: dokladnie, zad 4 to w pamieci

Metis: 1) Wykaż,że liczba n(n+1)(n+2)(n+3)+1 jest kwadratem liczby naturalnej. n(n+1)(n+2)(n+3)+1= n⁴+6n³+11n²+6n+1 − wielomian symetryczny. n⁴+1+6n³+6n+11n² (n⁴+1)+6(n³+n)+11n² /n²

	1		1
n2+		+6(n+		)+11
	n2		n

	1
Niechaj t=x+		, x ≠0
	x

t²−2+6t+11= t²+6t+9= (t+3)²

	1		(x2+3x+1)2		x2+3x+1
(x+		+3)2=		= (		)2
	x		x2		x

c.n.p

Metis: Oczywiście tam zamiast x , n

Eta: @bezendu psujesz zabawę

olekturbo: zad2/ Wykaż,że liczba 2²⁰¹⁶−2016 jest podzielna przez 5 2²⁰¹⁶−2016 = 2²⁰¹⁶ − 2⁵ * 63 = 2⁵(2²⁰¹¹ − 63) 2¹ = 2 2² = 4 2³ = 8 2⁴ = 16 2⁵ = 32 2011:4 502 r 3 ostatnia cyfra to 8 xxx8− 63 = 5 na koncu Moze byc cos takiego ?

bezendu: Powinno być 12 n² więc masz błąd

Ewka: 3. n=2015 (n+1)² +n² + n²(n+1)² = n⁴+2n³ +3n² +2n +1=[(n²+n)+1]² c.k.d

Eta: Dorzucę następne z logarytmów ( tylko dla maturzystów ! zad5/ wiedząc,że log₂x=k dla x>0 i x≠1

	k+2
wykaż,że log2x*log2x2*log24x=
	k(k+1)

zad6/ Wykaż,że dla x,y>0 i x,y ≠1 zachodzi równość log_x(xy) *log_y(y/x) = log_y(xy)*log_x(y/x) zad7/ Wykaż ,że prawdziwa jest równość

log235+8		1
	+1=
log516+log25 −2		log22

Eta: Ewka= bezendu ?

Ewka: Ja w tym roku piszę mature

Jack: czy w zad 1. tak jak Metis napisal... to nie trzeba : dla n = 0 wyrazenie = 1 , co jest kwadratem liczby naturalnej dla n≠0 i dopiero teraz dzielimy przez n² ?

olekturbo:

	k(k+2)
Eta, a w zad 5 nie powinno być =		?
	k+1

Ewka: zad 2. 2²016 − 2¹1 −32 = 2²016 − 2¹1 − 2⁵=2016−11−5=2000=400*5 c.k.d Mogę tak opuścić dwójki bez komentarza Eta?

Ewka: zapomniałam { }

Ewka: Powinno być 2²⁰¹⁶ −2{11} − 2{5} = 2016 −16 = 400*5

olekturbo: 2¹¹ + 2⁵ ≠2016

Metis: Wykaż,że liczba 2016²+2015²+2015²*2016² jest kwadratem liczby naturalnej. Niech x=2015 , wtedy 2016=x+1 Mamy: (x+1)²+x²+x²*(x+1)² x²+2x+1+x²+x²+x²+2x+1=x⁴+2x³+3x²+2x+1 − wielomian symetryczny x⁴+2x³+3x²+2x+1= =(x⁴+1)+2(x³+x)+3x² /:x²

	1		1
=x2+		+2(x+		)+3
	x2		x

	1
t=x+
	x

t²−2+2t+3= (t+1)²

	1		(x2+x+1)2		x2+x+1
(x+		+1)2=		= (		)2 , c.n. p
	x		x2		x

6latek : Ewka Dlaczego się wyrazasz niecenzuralnie (tutaj c. k. d )

Ewka: no tak powinno być 2²⁰¹⁶ −2¹¹ +2⁵

Ewka: to może rozwiń ten niecenzuralny skrót to się razem pośmiejemy bo ja go nigdy nie słyszałam.

Eta: zad2/ 2²⁰¹⁶ −−− kończy się 6 ( uzasadnij to zatem 2²⁰¹⁶−2016 −−− kończy się zerem wniosek ..............

endlo: a jak to uzasadnić?

Metis: Etuś zad. 5 na pewno dobrze prawa strona?

endlo: to drugie że kończy się to że 6 to wiem

endlo: a ok już wiem nie było sprawy

Eta: zad5 / prawa strona poprawna

Metis: Mam tak: P=log₂x*log_2x2*log₂4x=

	1
=log2x*		*log2(4*x)=
	log2(2*x)

	log2x*log2(4*x)
=		=
	log2(2*x)

	log2x*(log24+log2x)
=		=
	log22+log2x)

k(2+k)
1+k

Eta: zad5/ sorry po lewej zamiast log_x2 napisałam log₂x

Metis:

Eta: Przy poprzednim zapisie Twój dowód Metisku jest ok

olekturbo:

Krzysiek: 2²⁰¹⁶ − 2016 ≡ 2²⁰¹⁶ − 1 ≡ 2⁰ − 1 ≡ 0 mod 5

Benny: Ja bym też zadbał, że ta liczba w nawiasie u Ciebie Metis jest naturalna.

Metis: No tak można napisać komentarz wiemy w końcu, że x=2016

Metis: W tym dowodzie z zad. 3 gdzieś się walnąłem bo to nie jest liczba naturalna.

Eta: zad 3/ popraw

Eta: zad3/ Zauważ coś ....że n(n+3) =.... i (n+1)(n+2)=.... teraz dokończ........

Metis: Może ktoś inny, bo lektury czekają

Eta: ok

Jack: dokladnie, lektury czekaja na odswiezenie ; D

Metis: Ale Etuś nie gniewaj się Dziękuje Ci za nie Dokończę moim sposobem wieczorkiem

Jack: mnie ciekawi sposob 13;37, jak na to od tak wpasc

Benny: Wystarczy czytać forum

Keg: co to jest wielomian symetryczny?

Ralf: Mnie ciekawi zadanie 4

Metis: Szczególny przypadek wielomianu postaci: a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ +...+ a₂x² + a₁x + a₀ gdzie: a_n = a₀, a_n−1=a₁ , a_n−2=a₂ itd. Np.: 1x⁴+2x³+3x²+2x+1

Metis: Jest rozwiązane.

Metis: Oj nie ma

Ralf: Są jakies specjalne własności tego symetrycznego wielomianu? Czy pozwala to zawsze np łatwiej zrobić zadanie jak sobie tak porozkładam, żeby był symetryczny?

Keg: i jakie są właściwości takiego wielomianu symetrycznego?

ZKS:

	n2 + 3n + 1
Metis mam pytanie, a dlaczego wyrażenie (		)2 jest naturalne? Niestety
	n

ja tego tutaj nie widzę.

Metis: No właśnie coś nie weszło mi to zadanie

ZKS: Nie masz równania, więc od tej linijki powinieneś zapisywać to równoważnie skoro n ≠ 0 to

	1		1
(n4 + 1) + 6(n3 + n) + 11n2 = n2[n2 +		+ 6(n +		) + 11]
	n2		n

i dalej jak Ty masz pamiętając, że na początku masz n².

Metis: Dzięki ZKS Robiłem to między lekturami i zważyłem uwagi nawet na polecenie

ZKS: Nie ma sprawy. To czytaj sobie lektury i powtarzaj. Powodzenia jutro.

Metis: Nie dziękuję

ZKS: Prawidłowo.

Metis: Raz w życiu podziękowałem przed egzaminem ... i oblałem

ZKS: Na prawo jazdy?

Metis: Nie Profesor życzył mi powodzenia przez II etapem Diamentu AGH ... podziękowałem i ... indeksu jak nie było tak nie ma A z prawkiem też musiałem komuś podziękować Bo udało mi się chyba, z tego co pamiętam za 3 czy 2 − strasznie gasły mi te Toyoty

ZKS: Jeszcze możesz mieć indeks AGH, więc nic straconego. Pamiętam jak mi też na egzaminie dwa razy praktycznie z rzędu zgasła Toyota, ale udało się za pierwszym razem.

Metis: Mogę mieć, ale nie diamentowy

ZKS: Szkoda, ale teraz wszystko jest przed Tobą, więc głowa do góry.

Metis: − wypijemy po maturze

ZKS: Na pewno. Kiedy masz ostatni egzamin ustny?

Metis: 23 maja − niemiecki

Puff: Te wszystkie zadania są z poziomu rozszerzonego czy podstawa też powinna je zrobić?

prosta: post 13.16 pomysł dobry, zapis rozumowania z usterką linijka 4: dzielenie przez n² ? raczej wyłączanie n² przed nawias.... mamy tutaj wyrażenie a nie równanie i wynik ostateczny inny trochę, bez ułamka

Metis: dziękuje prosta Tak, wiem popłynąłem tam poprawię