Wielominy 6latek : Okazac ze trójmian (x+y)ⁿ−xⁿ−yⁿ jest podzielny przez x+y gdy wykładnik n jest nieparzysty

Kacper: xⁿ+yⁿ=(x+y)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+...−abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹), dla n nieparzystych. Wykorzystaj to

6latek : Kacper A możesz pokazac jak to wykorystac ?

6latek : no wlasnie (x+y)ⁿ= co?

Kacper: (x+y)ⁿ=(x+y)(x+y)ⁿ⁻¹

6latek : To co napisałem ostatnie to dwumian Newtona

6latek : To jest już dla mnie za ciężkie Myslalem ze będzie latwiejszse Może przyda się dla maturzystów Drugie zadanie jest takie Tresc : Okazac ze trójmian (x−y)ⁿ+(y−z)ⁿ+(z−x)ⁿ dzieli się przez (x−y)(y−x)(z−x) bez reszty gdy wykładnik n jest nieparzysty Zadanka sa z 1905 r (co nie zmienia faktu ze dla mnie za ciężkie teraz

6latek : Jeśli by ktoś chciał jednak rozwiazac to proszę o dokładne pokazanie (wraz z komentarzem jeśli to możliwe . Dziekuje

jc: Zaczynamy jak Kacper (x+y)ⁿ − xⁿ − yⁿ = (x+y)[ (x+y)ⁿ⁻¹ − (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + ... + xyⁿ⁻² + yⁿ⁻¹) ] W nawiasie [ ] zredukują się składniki xⁿ⁻¹ oraz yⁿ⁻¹, z pozostałych składników wyciągniemy xy. Zatem xy(x+y) dzieli (x+y)ⁿ − xⁿ − yⁿ Podstawmy teraz x = a−c, y=c−b. Teraz ważne jest, że n jest nieparzyste! xy(x+y) = (a−b)(b−c)(c−a) (x+y)ⁿ − xⁿ − yⁿ = (a−b)ⁿ + (b−c)ⁿ + (c−a)ⁿ A więc (a−b)(b−c)(c−a) dzieli (a−b)ⁿ + (b−c)ⁿ + (c−a)ⁿ.

jc: Mała, łatwa do poprawy, istotna usterka, Tu też ważne jest aby n było nieparzyste xⁿ +yⁿ = (x+y)(xⁿ⁻¹ − xⁿ⁻²y + ... − x yⁿ⁻² + yⁿ⁻¹) Reszta w porządku.

6latek : jc jeśli pozwolisz to powoli Znalazlem taki wzor (dopiero na funkcjach wymiernych (gościu pokazal aⁿ+bⁿ=(a+b)(aⁿ⁻¹−aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b².......−abⁿ⁻² +bⁿ⁻¹ Prawdziwy dla n nieparzystych Powiedzmy ze mam tak (x+y)⁷ wiec z tego x⁷+y⁷= (x+y)⁷− co ?

6latek : Teraz popatrzyłem i zle sformuawalem problem Chodzi o to ze np. (x+y)⁷= (x+y)(x+y)⁶ lub (x+y)²(x+y)² itd. Nam tutaj będzie potrzebny ten pierwszy zapis Najpierw zanim przejde do zapisu (x+y)ⁿ= (x+y)(x+y)ⁿ⁻¹ Chciałbym to zrozumiex na konkretnym przykładzie Mamy zapisac tak (x+y)⁷−x⁷−y⁷= mogę zapisac ze =(x+y)(x+y)⁶−x⁷−y⁷ = .....

jc: No to po kolei. x² − y² = (x−y)(x+y) x³ − y³ = (x−y)(x² + xy + y²) x⁴ − y⁴ = (x−y)(x³+x²y+xy²+y³) x⁵ − y⁵ = (x−y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴) Jak sprawdzić? Po prostu wykonać mnożenie po prawej stronie. Dla nieparzystych n możemy wstawić (−y) w miejsce y. x³ + y³ = x³ + (−y)³ = (x+y)(x² − xy + y²) x⁵ + y⁵ = x⁵ + (−y)⁵ = (x+y)(x⁴−x³y+x²y²−xy³+y⁴) A teraz wracając do naszego zadania: (x+y)⁵ − x⁵ − y⁵ = (x+y)(x+y)⁴ − (x+y)(x⁴−x³y+x²y²−xy³+y⁴) =(x+y)[(x+y)⁴ − (x⁴−x³y+x²y²−xy³+y⁴)] =(x+y)[(x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴) − (x⁴−x³y+x²y²−xy³+y⁴)] =(x+y)[5x³y + 5x²y² + 5xy³] = (x+y)xy[5x² + 5xy + 5y²] Możesz rozpisać dla n = 7. Myślę, że często lepiej napisać wzór dla konkeretnej liczby, niż wzóe z trójkropkiem lun symbolem sumy.

6latek : Dziekuje CI bardzo Wlasnie tak chciałem zrobić najpierw dla konktertnej liczby tak popatrzyłem przed chwila na ten zapis i wymysliem cos takiego −x⁷−y⁷= −(x⁷+y⁷) i teraz mogę zastosowc wzor (xⁿ+yⁿ)

6latek : Najpierw sobie to 1 zadanie rozkimam dobrze a potem wroce do drugiego zadania

6latek : Pierwsze zdanie pojęte Natomiast drugie z godziny 10:00 nie bardzo czy tutaj należy zastosować wzor xⁿ−yⁿ =(x−y)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²y+xⁿ⁻³y²+...+xyⁿ⁻²+yⁿ⁻¹ ) z tym z eten wzor działa dla wszystkich n No nie bo akuratnie tutaj ren wzor mi się nie przda Chyba należy to napisac tak np (x−y)ⁿ=(x−y)(x−y)ⁿ⁻¹

jc: Czy widzisz, że wyłącza się dodatkowo czynnik xy, czyli razem xy(x+y) ? Jeśli tak, to podstaw x = a−c, b=c−b pamiętając, że n jest liczbą nieparzystą. Otrzymasz rozwiązanie drugiego zadania, ale zamiast x,y,z będziesz miał a,b,c.

6latek : Tak zauwazylem Sprobuje to sobie jakos ulozyc po swojemy najpierw . Potem jeśli nie dam rady poproszse o pomoc

6latek: Wracam do zadania nr 2 Przpiszse tutaj tresc zeby nie szukac Tresc: Okazac ze trojmian (x−y)ⁿ+(y−z)ⁿ+(z−x)ⁿ dzieli sie bez reszty przez (x−y)(y−z)(z−x) gdy n jest nieparzyste Wiec tak na razie zrobie sobie to na konkretnym przykladzie bo tych n troche nie ogarniam Jesli wezme (x−y)³= x³−3x²y+3xy²−b³ = x³−y³−3xy(x−y) ================= czyli z tego wynika ze (x−y)³ dzieli sie przez x−y i przez iloczyn x*y Teraz (y−z)³= y³−z³−3yz(y−z) ======================= Teraz biore (z−x)³= z³−x³xz(z−x) ================= Jesli to teraz dodam to mam (x−y)³ +(y−z)³+(z−x)³= x³−y³−3xy(x−y)+y³−z³−3yz(y−z)+z³−x³−3zx(z−x) = −3xy(x−y)−3yz(y−z)−3zx(z−x) = i teraz przydaloby sie wyciagnac przed nawias (x−y)(y−z)(z−x)

jc: Rozwiązanie drugiego zadania jest prostym wnioskiem z pierwszego zadania. Podstaw teraz x = a−c, y=c−b i zobaczysz, co się stanie.

6latek : Mam tak −3xy(x−y)−3yz(y−z)−3zx(z−x) czyli mogę zapisac to tak 3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x) czy to jest do tej pory dobrze ? Teraz co mam wstawić do tego za z ?

jc: Ja bym to robił tak: n =3 (x+y)³ − x³ − y³ = 3(x+y)xy x = a−c, y =c−b (a−b)³ + (b−c)³ + (c−a)² = 3(a−b)(a−c)(c−b) = 3(a−b)(b−c)(c−a) lub po zamianie a,b,c na x, y, z (x−y)³ + (y−z)³ + (z−x)³ = 3(x−y)(y−z)(z−x) Policz sam dla n = 5.

6latek : Dobrze . Tylko wroce od rodzicow . Muszse zobaczyć co się u nich dzieje

6latek : Wiesz sa już starzy i musialem wstapic zwłaszcza ze mieszkam niedaleko no to policzmy (x+y)⁵−x⁵−y⁵ = x⁵+5x⁴y+10x³y²+10x²y³+5xy⁴+y⁵−x⁵−y⁵= = 5x⁴y+10x³y²+10x²y³+5xy⁴= 5xy(x³+2x²y+2xy²+y³) Tyle na razie wymyslilem

6latek : Chyba dam sobie z tym spokoj