Udowodnij.. Krzysiek: Jeśli x i y są takimi liczbami naturalnymi, że xy = 1995¹⁹⁹⁶, to 1996 nie dzieli x + y.

Krzysiek:

Ralf: Wg mnie to będzie tak. Skoro xy = 1995¹996 to x=1995^a i y=1995^b, gdzie a+b=1996, oraz a,b należą do naturalnych. suma x+y = 1995^a + 1995^b. Aby liczba była podzielna przez 1996 to musi dac się wyciągnąć 1996 przed nawias lub musi być jakaś cecha podzielności przez 1996. Cechy nie znam, a 4*499 chyba się nie sprawdzi Widać też, że nie da się z tej sumy wyłączyć 1996 przed nawias w taki sposób, by w nawiasie była liczba naturalna, czyli liczba nie jest podzielna przez 1996. Nie dam sobie ręki za to uciąć. Niech mądrzejsi to sprawdzą

Krzysiek: Chyba już wiem jak to zrobić.. xy = 1995¹⁹⁹⁶ x = 1995^1996−k y = 1995^k x + y = 1995^1996−k + 1995^k = 1995^k(1 + 1995^1996−2k) 1996 nie dzieli 1995^k 1996 dzieli 1 + 1995^1996−2k tylko jeśli 1996 − 2k jest nieparzyste, ale 1996 − 2k jest parzyste dla k∊C

Ralf: Czemu tylko jeśli jest nieparzyste?

Krzysiek: n = 1995 (n²+1) : (n+1) = (n−1) + 2 (n³+1) : (n+1) = (n² − n + 1) (n⁴+1) : (n+1) = (n³ − n² + n − 1) + 2 (n⁵+1) : (n+1) = (n⁴ − n³ + n² − n + 1) n^2k : (n+1) = (n^2k−1 − n^2k−2 + ... + n − 1) + 2 n^2k+1 : (n+1) = (n^2k − ... − n + 1)