Metis: (x+1)(x
2−(a+1)x+a)=0
Jednym, pewnym rozwiązaniem naszego równania jest x=−1 , bo
x+1=0 ⇔ x=−1
Szukamy trzech różnych rozwiązań których suma kwadratów jest równa 6.
Zatem nasz czynnik kwadratowy musi mieć dwa różne miejsca zerowe:
Warunek Δ>0 (policz)
Δ>0 ⇔ ...
oraz szukane pierwiastki nie mogą się zdublować , zatem
pierwiastkiem czynnika kwadratowego nie może być x=−1 .
Oznaczmy ten czynnik jako f(x), stąd:
f(x)= x
2−(a+1)x+a
f(−1)≠0 ⇔ (−1)
2+a+1+a≠0
1+a+1+a≠0 i ostatecznie
a≠−1
Zastanówmy się nad warunkiem sumy kwadratów która musi wynosić 6.
Niech rozwiązania naszego czynnika kwadratowego, czy też po oznaczeniu miejsca zerowe naszej
f(x) nazwane będą x
1 oraz x
2 , wtedy w połączeniu z naszym "pewnym" pierwiastkiem całego
równania mamy:
(−1)
2+x
12+x
22=6
co możemy doprowadzić do postaci:
x
12+x
22=5
Zauważmy, że powyższy warunek w sposób jednoznaczny zapisać możemy przy użyciu wzorów Viete'a
dla równania kwadratowego, stąd:
x
12+x
22=(x
1+x
2)
2−2x
1x
2
Mamy więc:
x
12+x
22=5 ⇔ (x
1+x
2)
2−2x
1x
2 = 5
| | −b | | c | |
Ze wzorów Viete'a x1+x2= |
| i x1*x2= |
| |
| | a | | a | |
Podstawiając podane niewiadome i rozwiązując podane równania i nierówności otrzymamy nasze
końcowe rozwiązanie,