ciag Damian: Ciag (an) jest okreslony dla n > 1 i spełnia warunek 3a_n+3 − a_n+1 = a_n − 3a_n+2 dla n > 1. Oblicz sume dwóch poczatkowych wyrazów ciagu (an) jezeli suma wszystkich jego wyra− ˙ zów jest równa 2016.

Jack: 3(a_n+3 + a_n+2) = a_n+1 + a_n

Damian: Tyle wiem. Nie wiem jak użyć sumy

Mariusz: 3a_n+3=−3a_n+2+a_n+1+a_n

	1		1
an+3=−an+2+		an+1+		an
	3		3

	1		1
an=−an−1+		an−2+		an−3
	3		3

A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1		1
∑n=3anxn=∑n=3(−an−1)xn+∑n=3		an−2xn+∑n=3		an−3xn
	3		3

	1
∑n=3anxn=−x∑n=3(an−1)xn−1+		x2∑n=3an−2xn−2+
	3

1
	x3∑n=3an−3xn−3
3

	1
∑n=3anxn=−x∑n=2anxn+		x2∑n=1anxn+
	3

1
	x3∑n=0anxn
3

∑_n=0a_nxⁿ−a₀−a₁x−a₂x²=−x(∑_n=0a_nxⁿ−a₀−a₁x)

	1		1
+		x2(∑n=0anxn−a0)+		x3∑n=0anxn
	3		3

	1		1
A(x)−a0−a1x−a2x2=−x(A(x)−a0−a1x)+		x2(A(x)−a0)+		x3A(x)
	3		3

	1		1		1
A(x)(1+x−		x2−		x3)=a0+a1x+a2x2+a0x+a1x2−		a0x2
	3		3		3

A(x)(3+x−x²−x³)=3a₀+3a₁x+3a₂x²+3a₀x+3a₁x²−a₀x²

	(3a2+3a1−a0)x2+(3a1+3a0)x+3a0
A(x)=
	3+3x−x2−x3

	(3a2+3a1−a0)x2+(3a1+3a0)x+3a0
A(x)=
	(1+x)(√3−x)(√3+x)

	a		b		c
A(x)=		+		+
	1+x		1   1− x   √3		1   1+ x   √3

ZKS: Zauważ, że otrzymywać będziesz a₁ + a₂ = 3(a₃ + a₄)

1
	(a1 + a2) = a3 + a4 = 3(a5 + a6)
3

1
	(a1 + a2) = a5 + a6 = 3(a7 + a8)
9

... S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ ...

	1		1
S = (a1 + a2)(1 +		+		+ ... )
	3		9

Mariusz: ZKS ja tak liczyłem Wyznaczyłem funkcję tworzącą tego ciągu oraz funkcję tworzącą ciągu sum częściowych jednak ciąg sum częściowych nie zbiegał już tak ładnie jak u ciebie do sumy ciągu geometrycznego Ciąg który otrzymałem nie miał granicy (można było wybrać dwa podciągi zbieżne do różnych granic) Przyrównałem te granice do 2016 i mi wyszło 1344