Funkcja Funkcja: Funkcja f określona jest wzorem f(x)=(x−2)(x+6)² wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=12 Więc mam rozwiązać: (x−2)(x+6)²=12 ?

Metis: tak.

Funkcja: Jednak to nie takie proste, ponieważ wychodzi: x³+10x²+12x−84=0

zef: szukaj pierwiastków wymiernych, jak znajdziesz jakiś to następne z delty.

Funkcja: Nie da się

zef: próbuj

Funkcja: To znajdź Nie możliwe

Evelek: jak podzielimy przez 12 otrzymamy:

	(x−12)(x+6)2
0 =
	12

więc obliczamy x−12 = 0 oraz x+6 = 0 takie proste czy źle coś mam?

Evelek: a no tak, jak podzielimy przez 12 to po lewej stronie 1 zostanie

6latek: Jeśli poziom liceum to nie da rady (sparwdzilem w wolframie ) Jeśli studia to sa metody do policzenia takich pierwiastkow (metoda stycznych choćby

Evelek: tu musi być sposób jakiś mi sie wydaje

Funkcja: Zadanie za 3pkt z matury R

zef: przydałoby się jakoś to pogrupować

Evelek: może graficznie to rozwiązać, narysować i odczytać.

piotr: niekonieczne jest rozwiązanie równania , chodzi o określenie liczby pierwiastków rzeczywistych jeżeli pochodna wyrażenia x³+10x²+12x−84 będzie dodatnia (lub ujemna) dla x∊R to mamy 1 pierwiastek

zef: Czyli nie trzeba podawać wartości tego pierwiastka

6latek: Nie znam się jeszcze na pochodnych

Evelek: delta pochodnej wychodzi −44

zef: pochodna: 3x²+20x+12

Evelek: to chyba wszystko jasne już skoro ujemna delta?

zef: No mi delta pochodnej wyszła 256

Evelek: a zgadza sie, delta wychodzi 16

Evelek: znaczy juz pierwiastek

zef: Pierwiastek z delty, a nie delta wynosi 16 Ważne szczegóły

Evelek:

	2
MAX w −6, MIN w
	3

coś nam to mówi wgl? xd

Evelek: MIN −2/3 *

piotr: max{x³+10 x²+12 x−84}=−12 w x=−6 min{x³+10 x²+12 x−84}=−(2372/27) w x=−(2/3) max i min mają ten sam znak czyli jeden pierwiastek

Evelek: to jakie będzie to x pierwszego równania?

zef: Ty nie musisz wyznaczyć tego x tylko wykazać ile ich jest Skoro 2 znaki ujemne w max i min to jeden pierwiastek.

zef: "wyznacz liczbę rozwiązań równania"

piotr:

Evelek: To czyli gdy w pochodnej wyjdą dwa iksy ujemne to taki wielomian ma jedno miejsce zerowe...no ciekawe. A co gdyby dwa plusy wyszły?

Funkcja: chyba jednak łatwiej było zrobić określając ile rozwiązań ma równanie f(x)=m, dla m=12 (x−2)(x+6)²=m Naszkicować f(x) i zobaczyć w ilu punktach prosta y=12 przecina wykres

zef: też można ale i tak trzeba liczyć pochodną żeby znaleźć punkty przegięcia wielomianu

piotr: nie chodzi o iksy ujemne a o wartości f(x) w tych punktach i jeśli są one tego samego znaku to 1 pierwiastek różne znaki 3 pierwiastki, a jeśli jeden byłby 0 to 2 pierwiastki

piotr: nie punkty przegięcia a ekstrema, to coś innego

zef: Racja.

Evelek: abym to dobrze zrozumiał, policzyliśmy pochodną funkcji f(x) = x3+10x2+12x−84

	2
Potem znaleźliśmy miejsca zerowe pochodnej. Te miejsca zerowe czyli −6 oraz −
	3

wstawiliśmy do naszej funkcji f(x) = x3+10x2+12x−84 i skoro wyszły one obie ujemne to tak jak na twoim szkicu tej funkcji, nie przecinają w tym miejscu osi x? I dalej według twojej zasady, gdyby ta funkcja f(x) po podstawieniu miejsc zerowych pochodnej przyjmowała by raz minusa a raz plusa to 3 pierwiastki itd?

piotr: no tak

piotr: w całym rozumowaniu dobrze też dla formalności pokazać, że granice w −∞ jest −∞, a w +∞ jest +∞, chodzi o rozpatrzenie przebiegu w całym R

Evelek: Rozumiem.

piotr: Cieszę się.