Wektory wlasne Paweł: Wektory własne mam taką macierz 2 0 1 0 2 0 0 0 0 dostaję równania 2v₁+v₃=0 i z tego wyznaczam pierwszy wektor własny (1,0,−2) ale w odpowiedziach mam jeszcze (0,1,0) i nie za bardzo wiem skąd to się wzięło?

Benny: No, jeśli macierz jest diagonalizowalna (a jest) to powinieneś dostać 3 wektory własne.

jc: Co w tym dziwnego. Wektor (1,0,−2) związany jest z wartością własną 0, a wektor (0,1,0) z wartością własną 2. Benny, macierz z zadania nie jest diagonalizowalna.

Paweł: Dobra, wyjsciowa macierz to: 1 0 1 0 −1 0 0 0 −1 I wartosc wlasna =1 krotnosc 1 II wartosc wlasna =−1 krotnosc 2 tylko nie wiem skad drugi wektor wlasny dobra, chyba w trakcie pisania zrozumiałem, jak dostajemy tam dwa równania do beda dwa takie wektory, po jednym z równania i to by sie zgadzalo

g: Najpierw wartości własne z równania det(A−λI) = 0 (2−λ)*(2−λ)*(−λ) = 0 Jest tylko jedna niezerowa wartość własna λ=2. Wektor własny k spełnia A*k = λ*k 2x + z = 2x 2y = 2y 0 = 2z Stąd k = (x,y,0)^T gdzie x,y dowolne, byle nie jednocześnie zerowe. (1,0,−2) nie jest wektorem własnym, bo A*(1,0,−2)^T = 0

jc: Dlaczego wektor (1,0,−2) nie jest wektorem własnym?

g: Bo trzeba by uznać że wartość własna może być zerowa, a zdaje się że się nie dopuszcza. Ale nie jestem pewien.

Benny: Wartość własna może być zerowa. Dla tej macierzy co podałeś wektory własne to (1, 0, −2), (0, 1, 0), (1, 0, 0)

jc: Wartość własna może być zerem, wektor własny nie może (co nam po takim wektorze?).

Benny: @jc czemu tamta pierwsza macierz nie jest diagonalizowalna?

jc: Pomyliłem się, obie macierze można zdiagonalizować. Pierwsza spełnia równanie x(x−2)=0, druga (x−1)(x+1)=0.

Paweł: Przepraszam za zamieszanie, bo rzeczywiście bardzo niejasno napisałem tego pierwszego posta. Macierz, którą tam umieśiłem to macierz powstała przez podstawienie jednej z wartości własnych, wcześniej obliczonych. Miałem tylko wątpliwości jak wyznaczyć wektory własne. Dobrą macierz dałem w poście z 23:05, ta z pierwszego postu jest to macierz dla wartości własnej λ=−1

jc: Benny, przy okazji, jest takie miłe twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować ⇔ macierz jest pierwiastkiem wielomianu nie posiadającego pierwiastków wielokrotnych.

jc: ... o ile mamy do dyspozycji liczby zespolone (czasem niezbędne).