Wielomiany 5-latek : A takie zadanko Dla jakiej wartości k wielomian x³−12x+k ma pierwiastek dwukrotny

ZKS: Za pomocą pochodnej?

ICSP: Udodownij najpierw : Wielomian w(x) = x³ + Ax + B ma pierwiastek dwukrotny gdy :

	A		B
(		)3 + (		)2 = 0
	3		2

Saizou : albo zapisze W(x)=(x−x_o)²(x−x₁) i porównaj wielomiany

Eta:

5-latek : Na początek dziekuje za posty To jest zadanie zaraz po tym gdzie pytałem o ten pierwiastek dwukrotny i ono należy do łatwych a potem mam zadanie podobne Dla jakiej wartości q wieolomian x³−6x+q ma pierwiastek dwukrotny Oblicz ten pierwiastek i rozloz wielomian na czynniki ( to zaliczane do trudniejszych . Zaraz sobie zapiszse do zeszytu i jutro sprobuje podpowiedzi Saizou

5-latek : ICSP Mam podobne zadanie do Twojej podpowiedzi Tresc Udowodnij ze jeżeli liczba m jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu x³_px+q to 3m²+p=0 i

q2		p3
	+		=0
4		27

ale to już jutro poproszse o pomoc

5-latek : Wielomian x³+px+q

5-latek : Teraz widzę ze to jest takie samo zadanie

piotr: dany wielomian będzie miał podwójny pierwiastek, gdy funkcja f(x)=x³−12x+k będzie miało maksimum lub minimum lokalne równe 0. 1. minimum w x=√12 ⇒ k= −(√12)³+12√12 2. maksimum w x=−√12 ⇒ k= −(−√12)³−12√12

ZKS: piotr, ale co ma do tego minimum i maksimum lokalne?

ICSP: ZKS w przypadku wielomianów trzeciego stopnia, jeżeli maksimum bądź minimum lokalne leży na osi OX to wielomian ten ma pierwiastek dwukrotny.

ZKS: Podstaw k = 0, ponieważ tyle u Ciebie wychodzi.

ICSP: źle policzył pochodną, więc wychodzą mu cuda

ZKS: Okej dzięki za informację chciałem właśnie się dowiedzieć, co to ma wspólnego.

ZKS: W sumie to nawet zrozumiałe jak teraz o tym pomyślę, ale i tak dzięki, bo o tym nie wiedziałem.

Mila: Jeżeli ma być bez pochodnych to wzory Viete'a najprościej (wg mnie).

piotr: liczyłem w pamięci i zgubiłem 3 w pochodnej poprawka: 1. minimum w x=2 ⇒ k= −2³+12*2=16 ⇒ mamy (x−2)² (x+4) 2. maksimum w x=−2 ⇒ k= −(−2)³−12*2=−16 ⇒ mamy (x−4) (x+2)²

5-latek : To nie chodzi o wzory Vieta Chodzi o to ze wzory Vieta sa przy równaniach i wielomianowych a do tych jeszcze trochę materialu zostało . Po prostu chce to zrobić tak jak w książce (czyli mamy działania na wielomianach ,, rownosc wielomianow za sobą

ICSP: czyli propozycja Saizou

piotr: inny sposób: (x−a)² (x+k/a²)=x³+x² (k/a²−2 a)+x (a²−(2 k)/a)+k=x³−12x+k ⇔ k/a²−2 a=0 a²−(2 k)/a=−12 ⇒a = −2, k = −16 ∨ a = 2, k = 16

jc: x³ − 12x + k = (x−a)²(x+2a) = x³ − 3a² x + 2a³ stąd a = ± 2, k = ± 16. Chociaż to wszystko jedno. To 2a bierze się stąd, że suma pierwiastków = 0, Rozumiem, że k/a jest stąd, że iloczyn = −k.