szeregi Blue: Na podstawie definicji oblicz sumę szeregu:

	1
a) ∑log2(1−		)
	(n+1)2

b) ∑(√n+2−2√n+1+√n) Mam problem tutaj z obliczeniem tych granic. Bardzo proszę o pomoc

Benny: Jakich granic? Co oznacza obliczanie sumy szeregu na podstawie definicji?

Blue: no trzeba obliczyć granice przy n dazacym do ∞..

Benny: Znaczy się chcesz sprawdzić warunek konieczny zbieżności, tak? Pokaż, gdzie pojawia się problem.

Blue: nie chodzi mi o warunek konieczny, w warunku koniecznym granicę liczy się tylko z tego ciągu, mi chodzi o szereg

Przemysław: Chyba chodzi o coś takiego: ∑^∞_n=1 a_n=lim_n→∞ (a₁+a₂+...+a_n) jeżeli obie strony istnieją oczywiście.

Przemysław: tam miało być ∑^∞_n=1a_n po lewej

Blue: taak o to mi chodzi

Przemysław: No to policzę b) od n=1 do ∞ ...=√3−2√2+√1+√4−2√3+√2+√5−2√4+√3+...+√n+2−2√n+1+√n=

	n+2−n−1
=−√2+1+√n+2−√n+1=1−√2+		=
	√n+2+√n+1

	n+2−n−1
=1−√2+		→1−√2
	√n(√1+2n+√1+1n

jc: suma częściowa S_n−1 = log₂ (1−1/2²)(1−1/3²)...(1−1/n²) Iloczyn pod logarytmem rozpisz dla n=5. Zobaczysz co się dzieje i zrozumiesz wynik ogólny.

	n+1
Sn−1 = log2		→log2 U{1}[2} = − 1
	2n

Drugi przykład S₄ = (√3−2√2+√1) + (√4−2√3+√2) + (√5−2√4+√3) + (√6−2√5+√4) = √6−√5−√2+1 Ogólnie S_n = √n+2−√n−1−√2+1 →1−√2

Przemysław: W pierwszym można też porozpisywać logarytmy na dodawania i odejmowania i też ładnie wychodzi.

deqw: Nie opłaca się pisać, Blue tylko wrzuca, nie czyta i nie dziękuję za rozwiązanie, polecam olać temat Szkoda czasu panowie

Blue: deqw, to że czytam później, to nie znaczy, że wcale nie czytam, po prostu nie siedzę tu 24 h/7. jc, no właśnie nie rozumiem, skąd się wziął wynik do tego drugiego... Czy nie mamy tu do czynienia z symbolem nieoznaczonym?

jc: Mała pomyłka. Pod drugim pierwiastkiem powinien być plus. S_n = √n+2 − √n+1 + 1 − √2 Wyobrażasz sobie wykres pierwiastka? Jak tak, to bez rachunów zobaczysz wynik. Jeśli nie to, to liczymy dalej. Różnicę √n+2 − √n+1 mnożymy i dzielimy przez sumę √n+2 + √n+1.

	(n+2) − (n+1)		1
√n+2 − √n+1 =		=
	√n+2 + √n+1		√n+2 + √n+1

Teraz granica jest chyba oczywista.

Blue: teraz rozumiem! Dziękuję bardzo

Blue: Ale tego pierwszego dalej nie rozumiem....

jc: Masz na mysli pierwsze zadanie? S_n = log₂ (1−1/2²) + log₂ (1/3²) + log₂ (1−4²) + ... + log₂ (1−1/(n+1)¹) = log₂ (1−1/2²)(1−1/3²)(1−1/4²)...(1−1/(n+1)²) bo ln_p a + log_p b = log_p ab N.p. S₅ = log₂ (1−1/2²) + log₂ (1/3²) + log₂ (1−4²) + log₂ (1−1/5²) + log2(1−1/6²) = log₂ (1−1/2²)(1/3²)(1−4²)(1−1/5²)(1−1/6²) Teraz zajmij się samym iloczynem.

	1		1		1		1		1
(1 −		)(1 −		)(1 −		)(1 −		)(1 −		)
	22		32		42		52		62

1*3

2*4

3*5

4*6

5*7

1*7

=

=

2*2

3*3

4*4

5*5

6*6

2*6

	7		n+2
S5 = log2		, ogólnie Sn = log2
	2*6		2(n+1)

	1
→log2		= −1
	2

Blue: teraz rozumiem, dziękuję Ci