Wielomian, dowód Kamil: W− wielomian o wsp całkowitych Trzy parami rozne liczby a,b,c W(a)=9 W(b)=9 W(c)=9 Teza: W nie przyjmuje wartosci 8 dla zadnego całkowitego argumentu W sensie nie istnieje całkowite d takie ze W(d)=8

g: Czy a,b,c też są całkowite?

Kamil: tak

g: No to proste. Wielomian V(x) = W(x)−9 ma trzy całkowite pierwiastki a,b,c, więc można go zapisać V(x) = (x−a)*(x−b)*(x−c)*U(x) gdzie U(x) jest dowolnym wielomianem też o całkowitych współczynnikach. Jeśli za x podstawimy d różne od a,b i c, to U(d) będzie całkowite, i co najmniej jeden z (d−a), (d−b), (d−c) będzie co do modułu ≥ 2. Zatem V(d) ≠ −1, czyli W(d) ≠ 8. Może być niejasne dlaczego U(x) ma mieć całkowite współczynniki. U(x) powstaje z V(x) przez trzykrotne dzielenie przez wielomian typu (x−a). Ponieważ współczynnik przy x jest =1, to takie dzielenie zostawia całkowite współczynniki w ilorazie.

Kamil: Ponieważ współczynnik przy x jest =1, to takie dzielenie zostawia całkowite współczynniki w ilorazie mógłbyś rozwinąć

g: V(x) dzielimy przez (1*x−a). Spróbuj podzielić dowolny wielomian o całkowitych współczynnikach przez np. x−2, to zobaczysz dlaczego wynik dzielenia też będzie miał całkowite wsp.

Kamil: co najmniej jeden z (d−a), (d−b), (d−c) będzie co do modułu ≥ 2 a mógłbyś to rozwinąć

g: Rusz wyobraźnią. To za proste żeby rozwijać.