ciagi Evelek: Zadanie bylo ale nie rozumiem jednej rzeczy. Pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 7, a jego roznica wynosi 2. Suma n początkowych wyrazów tego ciagu jest dwa razy mniejsza od sumy kolejnych n wyrazów. Oblicz n. I mamy takie rozwiązanie: a₁ = 7 r = 7

	14+(n−1)*2
Sn =		* n = n2 + 6n
	2

	14+(2n−1)*2
S2n =		* 2n = 4n2 + 12n
	2

S_2n − S_n = 3n² + 6n 2 * (6n+n²) = 3n² + 6n .... n = 6 I moje pytanie: Co to jest do cholery S_2n Skąd to sie wzięli i co to oznacza? Pierwszą czesc rozumiem w tym zadaniu, suma n wyrazów początkowych tego ciagu to jest tak jak w zadaniu S_n. Ale dlaczego do opisania sumy dowolnych kolejnych wyrazów ciagu arytmetycznego sie stosuje zapis S_2n

ZKS: Suma kolejnych n wyrazów.

Lucas: trzeba było różnic ciąg jeden od drugiego a ten drugi jest dwa razy większy od pierwszego stąd 2n

ZKS: Można bardziej po naszemu?

Evelek: I bardziej po mojemu ZKS, bo ja widzę to zadanie tak, S_n to suma ciągu. S_2n to jest S_n tylko pomnożone przez dwa.

ZKS: Suma kolejnych n wyrazów to a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{n + n − 1} + a_{n + n}. Pisz jak dalej jest to niezrozumiane.

ZKS: S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n S_2n = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{n + n − 1} + a_{n + n} = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{2n − 1} + a_2n Teraz wiemy, że suma kolejnych n wyrazów jest dwa razy większa, więc musimy policzyć sumę kolejnych n wyrazów a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{2n − 1} + a_2n = S_2n − S_n

Evelek: No nadal mało mi to mówi. Rozumiem a_n, a_n+1, a_n+2, a ty nagle masz a_n+n−1....a_n+n Rozumiejąc to a_n+n−1 dla n=5 to a₉ a tak nie jest. Wypisalem sobie na kartkę to i nie widzę tej zależności. A tak samo mnie interesuje co to jest S_2n bo z tego co przeanalizowalem teraz to nie jest to jednak S_n * 2 tylko troche cos innego.

Evelek: Teraz dodales nowy wpis, zaraz przeanalizuje.

Evelek: Nie no słuchaj ja tego nie czuje i nie trafia to do mnie. Nie rozumiem skąd nagle w S_n bierze sie a_n−1 itd.. Z innej strony musimy podejść do tego. Rozumiem na razie to: Suma S_n kolejnych początkowych wyrazów to: a₁ + a₂ + a₃, ... itd. W zadaniu mamy że suma ta czyli nasze S_n jest dwa razy mniejsze od sumy kolejnych wyrazów. Rozumiejąc to zapisuje to w ten sposób: 2 S_n = a_n + a_n+1 + a_n+2 ... itd Moje 2 S_n to suma początkowych wyrazów ciagu pomnożona przez dwa. A to co po prawej stronie równania to suma dowolnych kolejnych wyrazów a_n, a_n+1 itd. I teraz można to mysle łatwo rozwiązać jesli tylko ulozymy odpowiednie równanie dla prawej strony, a juz próbowałem na wiele sposobów i żaden nie daje poprawnego wyniku. Nasze S_n wychodzi n² + 6n, a że mamy pomnozone przez dwa to lewa strona równania wygląda tak: 2n² + 12n. Teraz tylko prawa strona. Ja bym to rozwiązał w ten sposób i w taki próbowałem. Jest to możliwe?

ZKS: Czego nie rozumiesz? Próbujesz wymyślić jakiś sposób zamiast zrozumieć ten, który jest poprawny. Przecież 2S_n ≠ a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2}, a 2S_n = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{2n − 1} + a_2n Teraz pytanie jak policzysz prawą stronę? Jeszcze raz, powoli postaram się wytłumaczyć S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n, tak? S_2n = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{2n − 1} + a_2n, więc S_2n − S_n = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n + a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{2n − 1} + a_2n − (a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n), dostajemy z tego S_2n − S_n = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{2n − 1} + a_2n, czyli to co chcieliśmy.

Evelek: Moje pytanie: Co to jest a_n−1 + a_n we wzorze na S_n?

ZKS: Przedostatni wyraz i ostatni.

Metis: Ty tak serio? Np. a₉ , a₁₀

Metis: Przełóż sobie to prostu na jakiś ciąg 10 wyrazowy. ZKS wszystko pięknie wyjaśnił Nawet ja rozumiem

ZKS: S₅ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = a₁ + a₂ + a₃ + a_{5 − 1} + a₅

Evelek: S_2n co oznacza? Że suma wyrazów jest pomnożona przez dwa? Bo na to też jeszcze nie dostałem odpowiedzi a jest istotne.

ZKS: Przecież napisałem, co to jest S_2n. Suma n początkowych wyrazów + suma kolejnych n wyrazów.

ZKS: Suma n początkowych wyrazów = a₁ + a₂ + ... + a_{n − 1} + a_n Suma kolejnych n wyrazów = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... a_{2n − 1} + a_2n

Evelek: S_n to jest to samo co byśmy napisali S_1n ? Czyli pierwsza suma wyrazów? A S_2n to jest druga suma wyrazów? Tak jak x₁ i x₂ w równaniach kwadratowych?

Evelek: Napisałeś, że S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₄ + ... + a_n−1 + a_n Nawiązując do tego −−> a_n−1 to przecież jest to niepoprawny i błędny zapis. Bo przecież: S₅ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₄ + a₅ A biorąc ten zapis a_n−1, chcąc obliczyć sumę pierwszy 5 wyrazów podstawiam pod n liczbę 5 i otrzymuje: S₅ = a₁₋₁ + a₂₋₁ + a₃₋₁ + a₄₋₁ + a₅₋₁ = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ i brakuje piątego wyrazu.

Metis: ZKS nikt nie powiedział, że będzie lekko

Metis: *łatwo

ZKS: Przykładowo, suma 5 początkowych wyrazów to a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = S₅, natomiast suma 5 kolejnych wyrazów to a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀.

ZKS: Metis ojj naprawdę nie jest łatwo.

Metis: S_n − suma początkowych n wyrazów dodajemy to tego kolejne n wyrazy i ile łącznie mamy wyrazów? n+n=2n , stąd S_2n

ZKS: Jak biorąc zapis a_{n − 1}? Chyba u Ciebie n = 5, więc a_n = a₅, a nie a₄.

Evelek: Dobra zaczynam łapać już. a_n−1 to przedostatni wyraz, a_n to ostatni. To już widzę i rozumiem ten zapis. ten post z 16:02 to bezsens. Jeszcze to S_2n i będę pytał.

ZKS: S_2n = suma n początkowych wyrazów + suma kolejnych n wyrazów.

ZKS: Patrz wpis który, zamieścił Metis o 16:05.

Evelek: Mamy wyrazy: a₁ = 3 a₂ = 6 a₃ = 9 a₄ = 12 a₅ = 15 a₆ = 18 a₇ = 21 Zapisując ich sumę napiszę: S₇ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ A jeśli chcę to samo napisać za pomocą S_2n ? S_2n = a₁ + a₂ + ... a_n−1 + a_n + a_n+1 + a_n+2 .... ? Jak z 2n przy S_2n zrobić S₇ ? Nie da sie przecież.

ZKS: Mistrzu przecież do S₇ dodajesz n kolejnych wyrazów, czyli u Ciebie 7 kolejnych S_{2 • 7} = S₁₄ S₇ = a₁ + a₂ + ... + a₆ + a₇ S_{2 • 7} = S₁₄ = a₁ + a₂ + ... + a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + ... + a₁₃ + a₁₄.

Evelek: Metis napisał: Metis: Sn − suma początkowych n wyrazów dodajemy to tego kolejne n wyrazy i ile łącznie mamy wyrazów? n+n=2n , stąd S_2n U niego było n+n = 2n a nie tak jak u ciebie jakieś mnożenie.

ZKS: A ile to jest n + n? 2n = n + n = n(1 + 1) = 2 • n.

Evelek: Nie podoba mi się to zapisywanie S_2n. Równie dobrze można zapisać S_n i to też będzie suma początkowych i kolejnych n wyrazów.

Evelek: No nic, dzieki ZKS że próbowałeś to przerobić ze mną, od 3 godzin jeden przykład próbuje zrozumieć już pierdolca dostaje powoli. Jutro matma w sql to się zapytam nauczycielki. Jak wyjaśni to wróce do tych tłumaczeń twoich i może wtedy zacznie to być dla mnie jasne bo na razie to ciągle to S_2n to jakiś kosmos dla mnie.

ZKS: Niby jak? Kolejnych n wyrazów to następne n wyrazów po n wyrazach początkowych.

ZKS: Kolejne to kolejne no jak Ci niby to inaczej ktoś ma wytłumaczyć? Początkowe to te co są na początku, a kolejne to następne po początkowych.

Evelek: Powiem tak. Zapis S_n rozumiem. Jest to suma tylko i wyłącznie początkowych wyrazów i zapisywana jako a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n−1 (wyraz przedostatni) + a_n (wyraz ostatni). Chciałem wiedzieć jak zapisywać kolejne n−wyrazy. Wytłumaczyłeś to i zrozumiałem. Zapisujemy a_n+1 + a_n+2 + ... + a_2n−1 (wyraz przedostatni) + a_2n (wyraz ostatni). Wracając do zadania to zapisujemy to jako 2S_n = S_2n−n Rozwiązuje to tak i mi wychodzi. Bardzo fajną rzecz mi pokazałeś, nie spotkałem się do tej pory z czymś takim...jakaś lipa w tej szkole, omówienie tematu na 2−3 przykładach a najtrudniejsze jak zwykle nie. Tylko to S_2n mnie irytuje. Pierwsze widzę w ogóle aby tak zapisywać sumę S_n + S_n. Po 12 godzin dziennie matmy to już zgłupiałem może.

ZKS: To pisz, co jest niezrozumiałe i dlaczego, łatwiej będzie to wytłumaczyć S_2n ≠ S_n + S_n, ponieważ S_n + S_n = S_n(1 + 1) = 2 • S_n.

Evelek: Ten sam przykład 3 razy zrobiłem...chyba załapałem już.. Przy okazji nauczyłeś mnie jak zapisywac przedostatni wyraz ciągu i ostatni, bo jakoś nigdy nie miałem potrzeby tego stosowania dopóki nie zacząłem rozszerzonych zadań z ciągów robić. Co do S_2n to zostawmy to już. Jest to suma poczatkowych i kolejnych wyrazów i tego sie trzymajmy. Przynajmniej już ogarnałem jak to rozpisywać itd to łatwiej zrozumiałem. Dziękuje za pomoc i cierpliwość..

ZKS: Prawie dobrze S_2n jest to suma n początkowych wyrazów i suma kolejnych n wyrazów. To teraz zapisz wzór sumy na sumę n + 1 początkowych wyrazów + sumę kolejnych n − 1 wyrazów.

Evelek: S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅... + a_n−1 + a_n n + 1 początkowe wyrazy ciągu.. S_n+1 = a_n+1 + a_n+2 + a_n+3 + a_n+4 + ... + a_n + a_n+1 n−1 kolejne wyrazy ciągu.. S_n−1 = a_n−1 + a_n−2 + a_n−3 + a_n−4 + ... + a_2n + a_2n−1 Ich suma... S_2n = a_n+1 + a_n+2 + a_n+3 + a_n+4 + ... + a_n + a_n+1 + + a_n−1 + a_n−2 + a_n−3 + a_n−4 + ... + a_2n + a_2n−1

ZKS: S_{n + 1} to to samo co S_n, tylko masz jeszcze dodatkowy wyraz n + 1 prawda? Jak zapiszesz zatem S_{n + 1}?

Evelek: S_n+1 = a₀₊₁ + a₁₊₁ + a₂₊₁ + a₃₊₁ + ... + a_n + a_n+1 Teraz ok?

ZKS: Czemu tak dziwnie zapisujesz? Po prostu S_{n + 1} = a 1 + a₂ + ... + a_n + a_{n + 1}, ale jest dobrze. To teraz zapisz sumę n − 1 kolejnych wyrazów po n + 1 wyrazach.

Evelek: No to skoro najpierw dodaliśmy 1 do liczby n, a teraz odejmujemy to zostaje nam samo n czyli S_2n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n−1 + a_n

ZKS: Czemu to zapisujesz jako S_2n? Zapisz sumę n − 1 kolejnych wyrazów.

Evelek: S_n−1 = ... + a_n−1 + a_n−2 + a_n−3 + a_n−4 + ... + a_2n + a_2n−1

ZKS: Niestety nie. Jaki będzie pierwszy wyraz po a_{n + 1}?

Evelek: Ej bez przesady, ja mam maturę nie studia, nie za wysoko z poziomem lecimy? jak mamy n−1 to dla n=0 otrzymujemy −1, dla n=1 otrzymujemy 0, dla n=2 otrzymujemy 1 itd. Nie bardzo wiem jakiej odpowiedzi sie spodziewasz.

ZKS: Nie chcę nic mówić, ale to może być nawet poziom gimnazjum. Jaki jest kolejny wyraz przykładowo po a₄?

Evelek: a₅

ZKS: Zatem następny wraz po a_{n + 1} jest?

Evelek: a_n+2

ZKS: Dokładnie, więc jak zapiszesz sumę n − 1 kolejnych wyrazów po n + 1 początkowych wyrazach?

Evelek: Nie wiem, za dużo tego juz.

ZKS: Mamy mieć n − 1 wyrazów po n + 1 początkowych wyrazach, sumę ich możemy zapisać jako a_{n + 2} + a_{n + 3} + ... + a_{n + n − 1} + a_{n + n}. Pierwszy wyraz to następny wyraz po wyrazie a_{n + 1} czyli a_{n + 2}, bo tyle mamy początkowych wyrazów n + 1, ale mamy mieć tych wyrazów n − 1, czyli ostatnim wyrazem będzie a_2n. Przykładowo mamy mieć n + 1 wyrazów początkowych, gdzie n = 4. Zapisując sumę n + 1 wyrazów początkowych otrzymamy 4 + 1 = 5 wyrazów a₁ + a₂ + ... + a₄ + a₅, teraz zapiszmy sumę n − 1 kolejnych wyrazów, czyli 4 − 1 = 3 wyrazy po n + 1 wyrazach, czyli po 4 + 1 = 5, pierwszym wyrazem po 5 wyrazie jest a₆ a₆ + a₇ + a₈. Łatwo możemy policzyć ostatni wyraz, n + 1 + n − 1 = 2n, czyli ostatni wyraz po 4 + 1 = 5 początkowych wyraz i 4 − 1 = 3 kolejnych jest 4 + 1 + 4 − 1 = 8. Rozumiesz?

Evelek: Nie rozumiem. Odpuśćmy bo to szkoda mojego i twojego czasu.

ZKS: To napisz czego nie rozumiesz. Mam czas do 20 później już będę zajęty.

Evelek: Ja musze posiedziec, przeanalizować, zrozumieć... Zamiast tego wole zadania maturalne z ciągów porobić. A nie widzę za bardzo po nich aby to co mi tlumaczysz teraz miało zastosowanie bo to zbyt skomplikowane i takich zadań nawet na maturze nie ma. Po maturze będzie czas to będzie można myśleć nad tym a na chwile obecna nie ma co sobie tym głowy zaprzątać mysle...to tak jakbym sie miał teraz całkowania uczyć.