wykaż rafal: Wykaż, że istnieje liczba dodatnia a, dla której a² + ¹_a < ^313√2₂₀

5-latek : Zaraz ktoś CI pokaze linka gdzie już o to pytales

rafal: ale nie uzyskalem odpowiedzi nadal, chciałem wkleic jeszcze raz pytanie, bo wciaz nie rozumiem jak to zrobic a tam była treść nieczytalna

jc: Już dzisiaj pisałeś i wiesz, że taka liczba istnieje, n.p. a = 2^−1/3.

jc: No więc po kolei. Aby pokazać, że element spełniający posiadający dane własności istnieje, wystarczy wskazać taki element.

	1
a = 2−1/3=		posiada żądane własności. Będę używał pierwszej notacji
	3√2

bo na ekranie jest czytelniejsza. a=2^−1/3 jest liczbą dodatnią.

	1		2{1/3}		3
a2 +		= 2−2/3 + 21/3 =		+ 21/3 =		* 21/3
	a		2		2

	31
<		* 21/3
	20

Czego nie rozumiesz?

rafal: JA rozumiem że ta liczba pasuje i zgadza sie nierówność ale musze to wykazać na oznaczeniach, nie moge na zasadzie podstawiania losowych liczb tylko na zasadzie "litrkowej"

jc: Skąd wiesz, że musisz? Czy chodzi ot, że nauczyciel może spytać, skąd taki pomysł? Jeśli tak, to podopowiem. Ale dobrze, jak będę wiedzial, czy to zadanie z gimnazjum, liceum, czy szkoly wyższej.

rafal: liceum

jc: Czy potrafisz znaleźć najmniejszą wartość funkcji f(a) = a² + 1/a dla dodatnich a? Czy w ogóle szukaliście w szkole najmniejszych/największych wartości funkcji? Moje rozwiązanie oparte na nierówności pomiędzy średnimi jest elementarne, ale mniej oczywiste.

mat: można zrobić badanie zmienności funkcji (a³+1)/a. Funkcja ta ma jedno ekstremum lokalne minimum, którym jest właśnie 2^−1/3), następnie liczymy wartość tej funkcji dla znalezionego a, i łatwo już potem pokazujemy że wartość lewej strony jest mniejsza od prawej. Badanie zmienności funkcji jest troszkę długie bo trzeba zrobić wszystkie granice asymptoty, ale przynajmniej widać jak znaleźliśmy szukane a.

jc: Tak źle nie jest. f(a) = a² +1/a f'(a) = 2a − 1/a² = 0 jeśli 2a³=1, czyli dla a = 2^−1/3, sprawdzmy takie a i mamy przykład. Ale czy zadanie pojawiło się po, czy przed pochodnymi?

mat: to zadanie z przykładowej matury próbnej.