trójmian maturzysta: x² + 2mx − x − 1 = 0 Jak wygląda równanie trójmianu w takim wypadku? Chyba za dużo matmy i aż zgłupiałem... dałem: Δ = (2m − 1)² − 4 * 1 * (−1) ale delta ujemna mi wychodzi...

5-latek : x²+x(2m−1)−1=0

maturzysta: banalne...dzięki.

yht: tak, ujemna delta delty wychodzi czyli (akurat tutaj) dla każdego m∊R równanie x²+2mx−x−1=0 będzie miało dwa różne rozwiązania x₁,x₂

maturzysta: Skoro delta ujemna to równanie nie ma pierwiastków... bo znajduje się nad osią X... czego nie rozumiem?

maturzysta: 5−latek to ja wczesniej napisałem to samo co ty, przepisałeś tylko.

maturzysta: jak ktoś wie to niech wyjaśni, skoro delta delty ujemna to pierwsza delta na pewno ma pierwiastek? Na pewno tak to tłumaczymy?

yht: delta = (2m−1)² −4*1*(−1) = 4m²−4m+1+4 = 4m²−4m+5 delta delty = (−4)²−4*4*5 = 16−80 = −64 delta (czyli 4m²−4m+5) jest funkcją kwadratową zależną od m, w której a=4, b=−4, c=5 poprzez to, że delta delty <0 oraz jest dodatnie a (bo przecież a=4) udowodniliśmy, że 4m²−4m+5 leży CAŁA NAD (poziomą) OSIĄ argumentów m więc funkcja 4m²−4m+5 przyjmuje wartości dodatnie dla każdego m ponieważ dla każdego m wyrażenie 4m²−4m+5 jest dodatnie oraz deltą równania x²+2mx−x−1=0 jest (zawsze dodatnie) 4m²−4m+5 to równanie x²+2mx−x−1=0 ma dla dowolnego m dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁,x₂ *** a skoro delta delty ujemna, to pierwsza delta na pewno NIE MA pierwiastków czyli pierwsza delta wtedy jest: − albo zawsze dodatnia (tak jak tutaj) − albo zawsze ujemna To, czy zawsze dodatnia, czy zawsze ujemna, zależy od współczynnika "a" w pierwszej delcie

maturzysta: chyba sam sobie zaprzeczyłeś... piszesz najpierw, że skoro druga wychodzi delta ujemna to pierwsza na pewno ma pierwiastki bo wtedy jej delta wychodzi na plusie. Potem po gwiazdkach dopisujesz "skoro delta delty ujemna, to pierwsza na pewno nie ma pierwiastków". To jak w końcu?

yht: nie napisałem że jeśli druga ujemna to pierwsza ma pierwiastki napisałem że jeśli druga ujemna to pierwsza zawsze dodatnia (lub zawsze ujemna) − kiedy tak a kiedy tak − po gwiazdkach było a jeśli pierwsza zawsze dodatnia, to równanie z niewiadomą x z treści zadania (czyli x² +2mx −x−1=0) ma zawsze 2 pierwiastki

maturzysta: Czyli tak: Pierwsze równanie ma współczynnik przy a dodatni. Liczymy deltę pierwszego równania. Powstaje nam z tego druga delta. Liczymy druga deltę. Jesli wyjdzie ona ujemna, to pierwsze równanie na pewno ma 2 pierwiastki. Jeśli druga delta wyjdzie ujemna, to pierwsza delta jest zawsze dodatnia, czyli pierwsze równanie nie ma pierwiastków. Wszystko analogicznie do drugiego przypadku: Jesli pierwsze równanie ma współczynnik a ujemny. Liczymy deltę pierwszego równania. Powstaje nam z tego druga delta. Liczymy drugą deltę. Jesli wyjdzie ona ujemna, to pierwsze równanie znajduje sie pod osia x i nie ma żadnych pierwiastków. Jesli druga delta wyjdzie na plusie, to wychodzi na to, ze pierwsze równanie ma dwa pierwiastki. Zgadza sie?

yht: Podobnie, ale nie całkiem. Liczymy deltę pierwszego równania. Współczynnik a przy delcie pierwszego równania jest dodatni. Liczymy drugą deltę. Jeśli wyjdzie ona ujemna, to pierwsze równanie ma na pewno 2 pierwiastki. Jeśli druga delta wyjdzie ujemna, to pierwsza delta jest zawsze dodatnia, czyli pierwsze równanie ma dwa pierwiastki. Wszystko analogicznie do drugiego przypadku: Liczymy deltę pierwszego równania. Współczynnik a przy delcie pierwszego równania jest ujemny. Liczymy drugą deltę. Jeśli wyjdzie ona ujemna, to pierwsze równanie nie ma żadnych pierwiastków. Jeśli druga delta wyjdzie na plusie, to liczymy m₁ i m₂. Pierwsze równanie ma dwa różne pierwiastki dla m∊(m₁, m₂) zaś dla m∊(−∞, m₁) ∪ (m₂,+∞) pierwsze równanie nie ma żadnych pierwiastków.

maturzysta: 4 lata w szkole matmy rozszerzonej a ja więcej istotnych rzeczy sie dowiaduje od ciebie... A to ciekawe co teraz napisales. To juz ostatnie pytanie do ciebie: Czy ten zbiór m pojawia sie takze, gdy współczynnik a jest dodatni, a druga delta wyjdzie dodatnia? Jak wtedy wygląda zbiór m?

yht: Tak, w takim przypadku ten zbiór m też się pojawia. Wtedy pierwsze równanie ma dwa różne pierwiastki dla m∊(−∞,m₁) ∪ (m₂,+∞) zaś dla m∊(m₁, m₂) pierwsze równanie nie ma żadnych pierwiastków.

maturzysta: Przepisuje sobie wszystko na kartkę, analizuje i zapamietuje. Bardzo ci dziękuję za wytłumaczenie i cierpliwość. Bardzo fajna lekcja dla mnie. I tak jak napisałem, 4 lata nauki w szkole i żadnego wspomnienia o istnieniu czegos takiego...

yht: zdajesz rozszerzenie ? to moglibyśmy porobić troche zadanek z parametrem "m" jak chcesz to mógłbym pomóc Ci te zadanka ogarnąć , bo to w sumie pewniak maturalny, i warto się tego nauczyć bo nie jest takie trudne

maturzysta: Powiem Ci tak, jeśli chodzi o mnie to podstawę z matmy ogarniam, arkusze i próbne robię na 98−100%, czasami gdzieś coś przeoczę, albo najczęściej w zadaniu na dowód nie do końca wszystko opiszę i sformułuje wniosek, ale takich rzeczy nie musimy powtarzać. Jeśli chodzi o rozszerzenie to potrafię wszystko ale teoretycznie, cały materiał przerobiłem, mnóstwo zadań z każdego działu, z tym, że nie zawsze to pomaga, bo jak sam pewnie wiesz, czasami się trafiają takie polecenia w zadaniu, że nie wiadomo jak się zabrać do tego nawet. Albo gdy jest z funkcji trygonometrycznych zadanie na przekształcenie i udowodnienie jakiegoś tam wzoru....też nie zawsze pomysł wpadnie i % polecą... Co do samego tematu funkcji kwadratowej z parametrem: wzory Viete'a potrafię, umiem je przekształcać, ostatnio nawet chłopaki z forum mi pomogli przekształcić |x₁ − x₂| do postaci wzorów Viete'a, to też zapamiętałem. Jeśli chcesz, to mam 4 przykłady. 1 z nich potrafię rozwiązać ale nie do końca rozumiem skąd się to wszystko bierze. Pozostałe to jedno równanie kwadratowe z wartością bezwzględną oraz zadanie z parametrem. Jeśli ci czas pozwoli, to możesz mi wytłumaczyć to: "Dla jakich wartości parametru m najmniejsza wartość funkcji f należy do podanego przedziału: f(x) = x² + x + m² − m + 1/4 ; przedział: < 2 , 6 > Moje rozwiązanie: Najpierw liczymy wierzchołek. Wyliczam p. Wychodzi p = −1/2, co oznacza, że wierzchołek znajduje się poza wskazanym w poleceniu przedziałem. Rozwiązuje f(−1/2) ≥ 2 Otrzymuje takie pierwiastki: m₁ = −1 m₂ = 2 czyli m ∊ (−∞, −1) ∪ (2, ∞) Teraz rozwiązuje f(−1/2) ≤ 6 Otrzymuje pierwiastki: m₁ = −2 m₂ = 3 czyli m ∊ (−2, 3) Wspólne rozwiązanie to m ∊ <−2, −1> ∪ <2, 3> Wynik się zgadza z odpowiedzią, ale nie mam pojęcia dlaczego w ten sposób postąpiliśmy aby to rozwiązać.

yht: więc tak: Wyliczając p = −1/2, dowiedziałeś się że dla argumentu x=−1/2 funkcja przyjmuje najmniejszą wartość Twój wniosek, że wierzchołek znajduje się poza wskazanym przedziałem jest błędny, bo polecenie mówi że q∊<2,6> a nie p∊<2,6> q − najmniejsza wartość funkcji p − argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość najmniejszą Wiesz, że dla x=−1/2 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą − liczysz tę wartość:

	−Δ
Tutaj, zamiast korzystać z q=		, warto skorzystać z tego, że q=f(p)
	4a

q = f(p) = f(−1/2) Wyszło, że f(−1/2) jest najmniejszą wartością funkcji. Zgodnie z treścią zadania, to wyrażenie musi należeć do przedziału <2, 6> czyli to f(−1/2) musi być ≥2 i jednocześnie ≤6 zatem muszą być jednocześnie spełnione nierówności f(−1/2)≥2 oraz f(−1/2)≤6 Jeśli czegoś nie rozumiesz − pytaj

maturzysta: załapałem teraz... dobrze, że mnie uświadomiłeś z tym że to wartość funkcji należy do tego przedziału, ciągle to myliłem. Poprawiłem to u siebie i wszystko teraz widzę. To teraz zadanko z tymi wszystkimi zależnościami o których pisaliśmy. "dla jakich wartości parametru m dana nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą? (m² − 4)x² + 2mx − 1 < 0 Moje rozwiązanie jest na zdjęciu z linku z następnego postu, rozwiązałem to tylko znowu coś mi się tu nie podoba. Moje rozumowanie jest takie: Aby ta nierówność była prawdziwa dla dowolnego x, to pierwsze co musimy zrobić, to uwzględnić to, że skoro f(x) < 0, to wykresem musi być parabola z ramionami do dołu, czyli współczynnik 'a' przy x² musi być ujemny. Wyliczyłem to tak jak na rysunku, m∊(−2,2). Teraz, skoro parabola skierowana ramiona do dołu i ma nie mieć żadnego pierwiastka, to delta musi być ujemna, czyli następne założenie do zadania: Δ < 0. Wyliczyłem deltę. Otrzymałem następne równanie kwadratowe ze względu na m. Wyliczyłem pierwiastki tego równania, otrzymałem m = −√2 ∨ m = √2. I teraz przytocze to co napisałeś: "Liczymy deltę pierwszego równania. Współczynnik a przy delcie pierwszego równania jest ujemny. Liczymy drugą deltę. Jeśli wyjdzie ona ujemna, to pierwsze równanie nie ma żadnych pierwiastków. Jeśli druga delta wyjdzie na plusie, to liczymy m1 i m2. Pierwsze równanie ma dwa różne pierwiastki dla m∊(m1, m2) zaś dla m∊(−∞, m1) ∪ (m2,+∞) pierwsze równanie nie ma żadnych pierwiastków." W zadaniu naszym chodziło o to, aby pierwsze równanie nie miało żadnych pierwiastków, więc zgodnie z tym co napisałeś, "dla m∊(−∞, m1) ∪ (m2,+∞) pierwsze równanie nie ma żadnych pierwiastków". Odpowiedzią powinien być zbiór m∊(−2,−√2) ∪ (√2, 2). A tu odpowiedź jest taka jak na zdjęciu. Gdzie źle rozumiem zadanie? Chyba największy problem u mnie to to, że potrafię to rozpisac tylko te przedziały nie do końca rozumiem...

maturzysta: http://s31.postimg.org/4ar98k8cr/WP_20160423_20_09_20_Pro.jpg

yht: Bo ja napisałem: "Współczynnik a przy delcie pierwszego równania jest ujemny" Nie napisałem: "Współczynnik a przy pierwszym równaniu jest ujemny" Ponieważ delta pierwszego równania to 8m²−16, to współczynnik a przy delcie pierwszego równania jest dodatni zatem trzeba zastosować drugi przypadek, w którym pisałem o 19:01 i wtedy wyjdzie wszystko ok

maturzysta: Kurczę... Wszystko się zgadza z tym co napisałeś. Jestem pod wrażeniem...naprawde... Ale przyznam ze pierwszy raz się spotykam z takimi zalozeniami oraz " Współczynnik a przy delcie ". Troche niedouczony sie czuje. I takie kilka błędów się trafi, % poleca i można zapomnieć o studiach. Mogę jeszcze jeden przykład pokazac to przeanalizujemy, reszta juz powinna być prosta, wszystko według schematów. Musisz tez miec czas dla siebie. Za chwile dodam przykład.

yht: może nie spamiętuj za wszelką cene moich regułek bo Ci sie może pomieszać.. żeby były spełnione warunki zadania, to tutaj: (m² − 4)x² + 2mx − 1 a=m²−4, b=2m, c=−1 muszą być spełnione jednocześnie dwa warunki: a<0 Δ<0 czyli m²−4<0 oraz (2m)²−4*(m²−4)*(−1)<0 i wtedy moich 'współczynników przy delcie' nie musisz pamiętać

maturzysta: Popracuje dzisiaj nad tym i porobię jeszcze kilka przykładów. To moje ostatnie zadanie tylko drugi podpunkt: "Dla jakich wartości parametru m najmniejsza wartość funkcji f należy do podanego przedziału: f(x) = (m−1)x² + 3mx + 4 + 2m, przedział (−∞ , 0). Zaczałem robić, ale tutaj wartość p mam z parametrem 'm', a tego raczej nie wstawię pod f(x) ?

maturzysta: http://s31.postimg.org/ev51av6mz/WP_20160423_21_01_28_Pro.jpg

yht: wstawiaj śmiało pod f(x), nawet jeśli z parametrem wyjdzie

maturzysta: http://s31.postimg.org/ytyba63iz/WP_20160423_21_26_20_Pro.jpg

maturzysta: no masakra jakaś te obliczenia...

prosta: trzeba też założyć, że m−1>0

prosta:

	−Δ
tutaj będzie łatwiej :		<0
	4a

yht: założenie m−1>0 musi być, bo to gwarantuje nam kształt ∪ paraboli (w wierzchołku wartość najmniejsza) bo gdyby było m−1<0 to wtedy parabola ∩ i wtedy w wierzchołku wartość największa

maturzysta: co zrobić dalej z tym swoim wynikiem? Sprawdzam dla jakiego m jest on mniejszy od 0?

yht: dokładnie, teraz musisz rozwiązać nierówność

maturzysta: yht dziękuję Ci bardzo za tą lekcje. Bardzo fajnie i przejrzyście wszystko tłumaczysz. Zacząłem lepiej rozumieć teraz te zadania z parametrem, a tak jak powiedziałeś, jest to taki pewniak maturalny.