dowód rafal: Wykaż że istnieje liczba a dla której a² + ¹_a < ^313√2₂₀

rafal: liczba dodatnia a*

rafal: Wykaż, że istnieje liczba dodatnia a, dla której a² + ¹_a < ^313√2₂₀

rafal: czy moge za pomocą pochodnej to zrobic?

maturzysta: Ja bym to pomnozyl przez 20, potem przez a i wtedy...

rafal: nie mozna przez a bo to nierówność

maturzysta: To przerzuć na jedna stronę i pomnożyć przez a² .

maturzysta: Rozwiązałem i doszedłem do 20a⁴ − 31 ³√2 a² + 20a² < 0 Tan gdzie trojka to pierwiastek trzeciego stopnia.

5-latek : Post 10:08 Ale pisze ze a ma być dodatnie to dlaczego nie można ?

jc:

	3		31
Dla a = 2−1/3 mamy: a2 + 1/a =		* 21/3 <		* 21/3.
	2		20

maturzysta: 5latek, jeśli mianownik może być zarówno ujemny jak i dodatni to nie wystarczy pomnożyć w tym wypadku przez samo a, bo nie znamy znaku. Dla bezpieczeństwa mnożymy przez a².

Jack: ; o Potwierdzam co napisal 5−latek. maturzysta − Ciebie nie rozumiem

5-latek : Czesc Jack

Jack: Hejka ; )

maturzysta: Podam przykład:

3 + x
	< 0 // * x2
x

Takie wyrażenie rozwiązujemy mnożąc przez x². I podobną sytuacje mamy w zadaniu w tym poście.

Jack: Ale jak bys mial informacje ze iks jest dodatni to smialo mozesz pomnozyc przez x...

maturzysta: Dopiero teraz zauważyłem, że rafal dopisał dalej że a jest dodatnie... No ale masz racje, jak mianownik dodatni to wystarczy przez x.

5-latek : Maturzysta masz w trsci zadania napisane a dodatnie wiec a>0 Co do postu 10:48 Możesz tak ale możesz również tak

W(x)
	<0 ⇔W(x)*P(x)<0
P(x)

zamieniasz postac ilorazowa na iloczynowa (tutaj chodzi o to ze znak ilorazu jest taki sam jak iloczynu Dostajesz wtedy nierowsc wielomianowa która latwiej rozwiazac

maturzysta: W twoim przykładzie z 10:54 można tak robić ale gdy wiemy, że mianownik na pewno dodatni, czyli np. wartość bezwzględna się tam znajduje. Dobrze rozumiem? Gdyby tam było w mianowniku −x to wtedy nie wystarczy pomnożyć licznika przez mianownik?

5-latek : Najlepiej będzie jak to sobie poćwiczysz na przykładach

jc: a=2^1/3 spełnia nierównosć. To że interesuje nas tylko dodatnie a zostało dopowiedziane zaraz po treści zadania. Skąd pomysł na taką wartość a? Nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:

a2 + 1/(2a) + 1/(2a)
	≥ [ a2 * 1/(2a) * 1/(2a) ]1/3 = 2−2/3
3

przy czym równość zachodzi tylko dla równych składników. Mamy więc nierównośc

	1
a2 +		≥ 3*2−3/2
	2a

Równość mamy dla a² = 1/2. Podstawiamy, sprawdzamy i koniec.

jc: Poprawka ... Równośc mamy dla a² = 1/(2a).

rafal: nie można przemnożyć przez samo a bo nie wiemy jakie to a jest − czy jest dodatnie czy ujemne. To że a jest ujemne to jest TEZA natomiast musimy to wykazać teraz, czyli robimy tak jakbysmy nie wiedzieli jakie to a jest. Za pomnozenie przez samo a dostaniemy 0 pkt na egzaminach bo "działaliśmy na tezie".

Lech Roch: Może ktoś to rozpisać po ludzku?

5-latek : Jeszcze należy rozroznic co to jest teza a co zalozenie Jeżeli .... (to zalozenie to..... (teza

jc: rafal Najpierw piszsz, że a jest dodatnie, a teraz piszesz, że nie wiemy. To jak? Założenie, że a jest dodatnie jest ważne w tym zadaniu. Bez tego założenia zadanie byłoby zbyt proste. Dla dowolnej liczby k wskazalibyśmy bez trudu liczbę a taką, że a² + 1/a < k. Np. a² + 1/a < −30 dla a=−0.01.