optymalizacja Metis:

	π
Obwód pewnego trójkąta jest równy 20 cm, a jeden z kątów ma miarę		. Promień okręgu
	6

opisanego na tym trójkącie ma długość 6 cm. Wyznacz długości boków trójkąta tak, aby jego pole było największe. Oblicz pole tego trójkąta. Rozwiązanie Niech a,b,c będą długościami boków dowolnego trójkąta, wtedy: a+b+c=20 − obwód trójkąta

	π
Wiemy, że		=30o.
	6

R=6 Niech a będzie bokiem leżącym naprzeciw kąta 30^o, wtedy: na podstawie twierdzenia sinusów w omawianym trójkącie:

a
	=2R
sin30o

Zatem a=6 Wiemy, że

	abc
R=		, gdzie P − pole trójkąta , stąd
	4P

	abc		bc
P=		=
	4R		4

a+b+c=20 6+b+c=20, stąd b=14−c >0 , c<14

	bc		c(14−c)
P=		⇔ P=		, stąd
	4		4

	1
P=−		c2+3,5c
	4

Szukamy maksimum. Maksimum dla c=7 Szukanymi długościami boków takiego trójkąta są 6,7,7 . A największe pole: P=49.

Metis: Jest ?

Metis: Dla poprawności zapisu winno być: P(c) = ... , gdzie c<14

maturzysta: Sympatyczne zadanko. Policzyłem na kartce, wszystko tak samo jak u ciebie.

Mila:

	49
P=
	4

?

Metis: Zjadłem Dziękuje