algebra Benny: F(R², R)={f:R²→R}; F₁={f:R²→R:f(x, y)=f(y, x)}, F₂={f:R²→R:f(x, y)=−f(y, x)}. Udowodnić, że F(R², R)=F₁+F₂. Czy jest to suma prosta?

jc: Pokaż, że rozkład f(x,y) = h(x,y) + g(x,y) h(y,x) = h(x,y) g(y,x) = −g(x,y) jest zawsze możliwy i jest jedyny. Wskazówka: znajdź g i h. To będzie oznaczało, że F jest suma prostą F1 i F2.

Benny: Nie bardzo rozumiem.

jc: F jest sumą prostą F₁ i F₂ oznacza, że każdy wektor v ∊ F daje się zapisać jako suma v = v₁ + v₂, gdzie v₁∊ F₁, v₂ ∊F₂, przy czym takie przedstawienie jest jedyne. W Twoim zadaniu należy pokazać, że każdą funkcję 2 zmiennych można przedstawić jednoznacznie jako sumę funkcji symetrycznej i antysymetrycznej.