Nierówności Makintosz: Udowodnij że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c,d spełniają równość: a+b+c≤3d, b+c+d≤3a, c+d+a≤3b, d+a+b≤3c to a=b=c=d

jc: Podpowiem: dodaj stronami nierówności 2,3,4. Wraz z nierównością 1, będziesz miał dwie nierówności dla d. ... Nie chcę psuć zabawy

Metis:

jc: Dzien dobry Metis! może rozwiążesz zadanie? Na prawdę ładne.

Makintosz: Możecie pomóc bo nadal nie wiem jak to udowodnić?

olekturbo: a+b+c < 3d b+c+d+c+d+a+d+a+b ≤ 3a+3b+3c 2b+2c+3d+2a ≤ 3a+3b+3c a+b+c ≥ 3d a+b+c ≤ 3d

Makintosz: No tak do tego doszedłem ale co dalej?

Jack: no to tyle skoro ma byc rownoczesnie ≥ 3d i ≤3d to musi byc rowne ...

ZKS:

Metis:

ZKS: Jeszcze tylko dokończyć.

Metis: Zaczeli, niech kończą

ZKS:

ZKS: Nikt się nie kwapi z uzasadnieniem?

Metis:

Metis: Maturzyści nie Ci sami co kiedyś

ZKS: Metis dawaj, Ty dokończ jak oni nie są chętni. Będzie wiadomo, że niektórzy maturzyści są tacy, jak kiedyś.

Metis: Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c,d spełniają równość: a+b+c≤3d, b+c+d≤3a, c+d+a≤3b, d+a+b≤3c to a=b=c=d Rozwiązanie a,b,c,d ∊ R Zauważmy, że dodając stronami nierówności b+c+d≤3a, c+d+a≤3b, d+a+b≤3c otrzymamy: b+c+d≤3a, c+d+a≤3b d+a+b≤3c +−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− b+c+d+a+c+d+a+b+d≤3a+3b+3c 2b+2c+2a+3d≤3a+3b+3c , stąd: 3d≤a+b+c ⇔ a+b+c≥3d Wiemy także, że a+b+c≤3d a+b+c≥3d a+b+c≤3d / (−1) −(a+b+c)≥−3d a+b+c≥3d −−−−−−−−−−−−−−−− −a−b−c+a+b+c≥−3d+3d 0≥0 ⇒ 0=0 c.n.p

Metis: Nie wiem czy jeszcze coś

ZKS: Z tego nie wynika a = b = c = d. Dostałeś, że a + b + c ≥ 3d ∧ a + b + c ≤ 3d, więc a + b + c = 3d. Teraz spróbuj. Jak coś dam wskazówkę.

Metis: Hmmm , coś ze średnimi?

ZKS: Daje wskazówkę 3d = d + d + d.

ZKS: Przenieś to na lewą stronę i pomyśl, jak to możesz zapisać żeby pokazać, że a = b = c = d.

jc: Metis

Metis: a+b+c−3d=0 a+b+c−d−d−d=0 a−d+b−d+c−d=0 Taka suma jest równa 0 wtedy gdy a−d=0 i b−d=0 i c−d=0 stąd a=d i b=d i c=d zatem a=b=c=d

ZKS: jc z tego wynika a = b = c = d? Tak się zastanawiałem, bo można trochę lepiej to pokazać. Jesteś nauczycielem to lepiej będziesz wiedział, czy takie uzasadnienie jakie napisał Metis wystarczy.

Metis: A jaki miałeś pomysł ?

ZKS: O dokładnie, o takie rozpisanie mi chodziło. Osobiście bym tak zapisał, bo tutaj to jest pokazane czarno na białym.

ZKS: Mój post z 22:48 tyczył się Twojego postu o 22:26.

Metis: Dzięki Dzięki Tobie powoli zaczynam wierzyć w 50 %

ZKS: Nie ma za co, proszę bardzo. W 90%, no dobra ≥ 80% tylko rób powoli i analizuj, bo często to co masz udowodnić może Cię naprowadzić na rozwiązanie tak jak tu.

Metis: Szczerze − wątpię Ale pokaże

jc: A nie mozna było prościej? a+b+c = 3d (to już wiemy)

	a+b+c+d
a+b+c+d = 4d, czyli d =
	4

ale tak samo jest dla a, b, c:

	a+b+c+d		a+b+c+d		a+b+c+d
a =		, b =		, c=		,
	4		4		4

a więc a=b=c=d

ZKS: Też rozwiązanie, oba są na podobnym poziomie, ja myślałem nad rozwiązaniem jakie teraz napisał Metis, dlatego go tak kierowałem.

Metis: jc jaki poziom uczysz? Liceum, gimnazjum , czy SW ?

ZKS: Dobra ja idę. Dobranoc tu obecnym.

Metis: Trzymaj się