funkcja michał: wyznaczyć ekstrema, punkty przegięcia, monotoniczność oraz wypukłość wykresu funkcji. y=xe⁻x²

AS:

AS: f(x) = x*e^−x2 Pierwsza pochodna f'(x) = e^−x2 + x*e^−x2*(−2*x) = e^−x2*(1 − 2*x²) Warunek ekstremum: f'(x) = 0 f'(x) = 0 ⇔ e^−x2*(1 − 2*x²) = 0 ⇔ 1 − 2*x² = 0 ⇔ x1 = 1/√2 lub x2 = −1/√2 Wartość ekstremum

	1
f(x1) = 1/√2*e−1/2 =		≈ 0.4289
	√2*e

	−1
f(x2) = −1/√2*e−1/2 =		≈ −0.4289
	√2*e

Punkt przegięcia Warunek: f"(x) = 0 f"(x) = e^−x2*(−2*x)(1 − 2*x²) + e^−x2*(−4*x) = e^−x2*(−2*x + 4*x² − 4*x) = = e^−x2*(4*x³ − 6*x) = 2*x*e^−x2*(2*x² − 3) f"(x) = 0 ⇔ x*(2*x² − 3) = 0 ⇔ x1 = 0 lub x2 = −√3/2 lub x3 = √3/2 Wklęsłość i wypukłość Warunek wklęsłości: f"(x) > 0 , wypukłości: f"(x) < 0 Wklęsłość f"(x) > 0 ⇔ 2*x*e^−x2*(2*x² − 3) > 0 ⇔ x*(2*x² − 3) > 0 ⇔ x ∊ (−√3/2,0) U (√3/2,∞) Wypukłość f"(x) < 0 ⇔ 2*x*e^−x2*(2*x² − 3) < 0 ⇔ x*(2*x² − 3) < 0 ⇔ x ∊ (−∞,−√3/2) U (0,√3/2) Funkcja wklęsła w przedziałach: (−∞ , −√3/2} U (0,√3/2)