Dlaczego tak? P.: Dlaczego jest taka odpowiedź: Zbadaj zbieżność szeregu:

	1
∑n=1∞ [		* √sin(1/n) ]
	n

Mam rozwiązanie:

1		1		1		1
	* √sin(1/n)≤		*√(1/n)=		=
n		n		n*√n		n3/2

	1
Dlaczego liczymy zbieżność szeregu, skoro		jest rozbieżne?
	n

jc: Nie rozumiem? Nie liczymy, tyko badamy. Wyrazy naszego szeregu, powiedzmy a_n, spełniają nierówności 0 ≤ a_n ≤ n^−3/2 Szereg ∑ n^−3/2 jest zbieżny i dlatego szereg ∑ a_n jest zbiezny. W czym problem?

P.: Skąd wiadomo że szereg ten pierwszy, który jest w zadaniu jest zbieżny, przecież samo 1/n jest rozbieżne

jc: Z takiego, łatwego do udowodnienia twierdzenia: Jeśli 0 ≤ a_n ≤ b_n oraz ∑b_n jest zbieżny ⇒ ∑ a_n jest zbieżny. U nas a_n = (1/n) √sin(1/n), b_n = n^−3/2. Zacytowane twierdzenie, nazywamy kryterium porównawczym.