Udowodnij nierówność Andrew: a⁴+b⁴+2c²⩾4abc , a⩾0, b⩾0, c⩾0

Ewka:

(a4 +b4)
	≥ √a4*b4 ⇒ a4 +b4 ≥ 2a2b2
2

(2a2b2 +2c2)
	≥ √2a2b2*2c2 ⇒ 2a2b2 + 2c2≥ 4abc
2

ckd (bo z pierwszego piszesz komentarz że a⁴+b⁴≥ 2a²*2b²) to wszystko się robi z tego że średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna

jc: Można w jednym kroku:

a4 + b4 + c2 + c2
	≥ [a4 * b4 * c2 *c2 ]1/4 = |abc| ≥ abc
4

Założenie a,b,c,d ≥ 0 nie jest potrzebne.

olekturbo: Jak to zrobic bez nierownosci miedzy srednimi

ICSP: Opierajac się dwukrotnie na nierówność x² + y² ≥ 2xy Najpierw dla x= a² , b² a potem dla x = ab , y = c

jc: ICSP Tak właśnie się dowodzi nierówności pomiędzy średnimi dla n=4. a,b,c,d ≥0

	a+b
ab ≤ (		)2
	2

	c+d
cd ≤ (		)2
	2

Mnożymy stronami i jeszcze raz korzystamy z nierówności dla n=2

	a+b		c+d		a+b+c+d
abcd ≤(				)2 ≤ (		)4
	2		2		4

A potem dla n=8, 16, 32, ...

ICSP: Wiem Kolega chciał alternatywną wersję dowodu, wiec tylko rzuciłem pomysłem

Andrew: Dziękuje.