Zadanie z równoległobokiem typ: Udowodnij, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest równa podwojonej objętości danego równoległościanu. Pomoże ktoś? Byłbym wdzięczny za pomoc.

jc: |a,b,c| oznacza wyznacznik macierzy zbudowanej z wektorów a, b, c objętość równoległościanu = moduł z wyznacznika |a+b, b+c, c+a| = 2 |a, b, c|

typ: Dziękuję za pomoc, lecz nie wiem jak przekształcić w sposób logiczny wyznacznik drugiego równoległościanu tak, żeby otrzymać podwojoną objętość pierwszego. Kiedy obliczam iloczyn mieszany z trzech sum wektorów dostaję skrajnie skomplikowaną równość do uproszczenia.

g: Można iloczynem mieszanym wektorów. Wyobraź sobie trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka jako wektory a, b, c. Objętość równoległościanu to |(a x b)*c| (kolejność dowolna). Przekątne to (a+b), (b+c), (c+a). Wstaw przekątne do wzoru i wyjdzie.

g: A, widzę że tak próbowałeś i że trudno. Wcale nie trudno − wiele składników sumy odpada, np. odpadają (a x a)*b, (a x b)*b, itp. Zostaną tylko dwa typu (a x b)*c z tym, że a,b,c w różnych kolejnościach.

jc: Wyznacznik jest liniowy i antysymetryczny (jeśli dwie kolumny się powtórzą, to mamy zero) |a+b, b+c, c+a| = |a,b+c,c+a| + |b,b+c,c+a| = |a,b,c| + |b,c,a| = 2|a,b,c|