OE III 2015 PR patryk97: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie log_m(x²−4x+4)=2 ma dwa różne dodatnie rozwiązania. Czy mógłby ktoś sprawdzić czy poprawnym wynikiem jest (0; 1) u (1; 2) Coś wątpię, że to dobrze zrobiłem

Metis: Pokaż rachunki.

patryk97: Trochę na czuja robiłem m≠1 ∧ m>0 m²=x²−4x+4 x²−4x+4−m²=0 Δ>0 dla każdego m x₁+x₂>0 ∧ x₁x₂>0 4>0 ∧ 4−m²>0 m e (−2, 2 ) Co daje (0, 1)u(1, 2)

Metis: Zła dziedzina.

ZKS: Metis zrób to zadanie bez Δ i wzorów Viete'a.

patryk97: Co jest nie tak? Chodzi o to, że (x−2)²>0?

olekturbo: Przecież to chyba można prościej zrobić m² = x²−4x+4 i sprawdzic kiedy y = m² przecina f(x) = x²−4x+4

ZKS: Dla mnie chyba lepiej skorzystać ze wzoru a² − b², wszystko wtedy ładnie policzymy.

Metis: Zauważmy, że x²−4x+4=(x−2)² Wtedy równanie log_m(x²−4x+4)=2 , gdzie m>0 i m≠1 i x²−4x+4>0 przyjmie postać: log_m(x−2)² =2 Korzystając z praw działań na log , mamy: 2log_m(x−2)=2 log_m(x−2)=1 log_m(x−2)=log_mm x−2=m x=m+2 hmmm

Jack: x²−4x+4 = (x−2)²

ZKS: Metis na przyszłość pamiętaj log_ab² = 2log_a|b|, Ty zmieniłeś dziedzinę tego równania, a co za tym idzie to przejście nie jest równoważne.

Metis: No właśnie tego mi brakowało, i zacząłem szukać błedu

ZKS: Teraz dokończ, bo Twój sposób mi się dużo bardziej podoba.

Metis: Podałeś bardzo trafną uwagę. Normalnie taki zapis, nie doprowadziłby do błędu , z def. logarytmu − b>0 w tym przypadku, zadaniu prowadzi do nieporozumienia, w rezultacie do skopania zadania.

ZKS:

Jack: |x−2| = m...

Metis: |x−2| = m x−2=m v x−2=−m x=2+m v x=2−m I wiemy, że x∊(−∞,2)U(2,+∞) Pobawić się przedziałami

ZKS: Wystarczy teraz zrobić 2 + m > 0 ∧ 2 − m > 0 ∧ 2 + m ≠ 2 − m.

ZKS: Ładne rozwiązanie bez Δ i wzorów Viete'a Metis.

Metis: Tutaj tak naprawdę więcej zabawy z przedziałami , dziedziną ZKS po co te ?

ZKS: Nawet nie trzeba dawać tego ostatniego warunku, przecież mając równanie |x − 2| = m i chcąc otrzymać dwa różne rozwiązania to m > 0.

ZKS: Za rozwiązanie.

Metis: No dzięki

Patryk97: Dzięki za drugie rozwiązanie, jednak mam pytanie gdzie w moim rozwiązaniu są błędy i jak je naprawić

Metis: x²−4x+4>0 x₁x₂>0 i x₁+x₂>0 rozwiązujesz wszystkie warunki i cześć wspólna.

Patryk97: No to tak zrobiłem przecież

Metis: Gdzie warunek x²−4x+4>0 ? Sprawdź rachunki.

Patryk97: No ale ten warunek tylko wyrzuca x=2 dla którego m byłoby równe 0 które oczywiscie jest wyrzucone