Odgadnij wzór ogólny Proszę: Odgadnij wzór ogólny 2⁰+2¹+2²+...+2ⁿ=

ICSP: 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ = S ⇒ 2 + 4 + ... + 2ⁿ = S − 1 Mnożę stronami przez 2 : 2 + 4 + ... + 2ⁿ + 2^{n + 1} = 2S S − 1 + 2^{n + 1} = 2S S = 2^{n + 1} − 1

Metis: ICSP mam problem pomożesz?

Proszę: Dzięki wielkie

ICSP: zależy jaki problem

Metis: Mam określony ciąg a_n wzorem a_n+1=1−2a_n Jak policzyć sumę np. 20 wyrazów takiego ciągu. Kombinuje jako S₁=a₁ itd ale to nie działa i nie chce mi wejść to zadanie, a wydaje się trywialne

5-latek : WEdlug mnie powinien być podany wyraz a₁ Zobacz może jest blad w erracie

ICSP: Dla mnie też tutaj czegoś brakuje

Metis: No własnie nie jest podany Z ostatniej matury zadania.info http://prntscr.com/atskrb

Metis: Ale mając nawet a₁ nie policzę tej sumy, bo jest to ciąg określony rekurencyjnie

ZKS: Metis co do zadania, mamy podane, że a_{n + 1} = 3 − a_n, więc a_{n + 2} = 3 − a_{n + 1} odejmując stronami dostaniemy a_{n + 2} = a_n Zatem S₅₀ = a₁ + a₂ + ... + a₄₉ + a₅₀ = a₁ + a₂ + a₁ + a₂ + ... + a₁ + a₂ = 25a₁ + 25a₂ = 25a₁ + 25(3 − a₁) = 25a₁ + 75 − 25a₁ = 75

Metis: Kurczę , banał Dzięki ZKS, nie zauwazyłem tego

ZKS: Nie ma sprawy, ciekawe zadanie na zauważenie czegoś, dlatego za 1 punkt tylko.

Mariusz: Metis mogłeś skorzystać z funkcji tworzącej , w tym przypadku także czynnika sumacyjnego aby otrzymać wzór jawny

Metis: Pierwsze słyszę Mariusz

Mariusz: a_n+1=1−2a_n a_n=−2a_n−1+1 A(x)=∑_n=0 a_nxⁿ ∑_n=1 a_nxⁿ=∑_n=1{−2a_n−1xⁿ}+∑_n=1xⁿ

	x
∑n=1 anxn=−2x∑n=1{an−1xn−1}+
	1−x

	x
∑n=1 anxn=−2x∑n=0{anxn}+
	1−x

	x
∑n=0 anxn−a0=−2x∑n=0{anxn}+
	1−x

	x
A(x)−a0=−2xA(x)+
	1−x

	x
A(x)(1+2x)=a0+
	(1−x)

	a0		1	(1+2x)−(1−x)
A(x)=		+
	1+2x		3	(1+2x)(1−x)

	a0		1	1		1	1
A(x)=		+			−
	1+2x		3	1−x		3	1+2x

	1	3a0−1		1	1
A(x)=			+
	3	1+2x		3	1−x

	1		1
an=		(3a0−1)(−2)n+
	3		3

Teraz aby obliczyć sumę to można z rachunku różnicowego skorzystać albo z ciągu geometrycznego Chociaż jeśli to jest zadanie maturalne to mogą tego nie uznać

Metis: Maturalne Jestem w III LO

Mariusz: Tutaj już nie będzie tak ładnie jak to ZKS pokazał

Mariusz: Funkcja tworząca to funkcja której współczynnikami rozwinięcia w szereg potęgowy kolejne wyrazy ciągu Jest używana między innymi do rozwiązywania rekurencji Równania rekurencyjne liniowe o stałych współczynnikach stosunkowo łatwo rozwiązać ,funkcja tworząca będzie wtedy funkcją wymierną Funkcją tworzącą możesz też rozwiązać niektóre równania liniowe o zmiennych współczynnikach (możesz wtedy dostać liniowe równanie różniczkowe) Jest też równanie na liczby Catalana , Bernoulliego, Bella które też możesz rozwiązać używając funkcji tworzącej Poza tym wystarczy wstawić funkcję tworzącą do równania i każdy krok wynika z poprzedniego i nie musisz nic zapamiętywać bez uzasadnienia