Kombinatoryka Kazik: Ze zbioru liczb {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12} losujemy jednocześnie trzy. Ile jest możliwości wyboru takich liczb, aby a) ich suma była podzielna przez 3 b) suma ich kwadratów była podzielna przez 3

yht: do oceny, czy suma/suma kwadratów liczb jest podzielna przez 3 jest reszta z dzielenia przez 3 3,6,9,12 − są to liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają reszty 0 (liczby R0) 1, 4, 7, 10 − przy dzieleniu przez 3 reszta 1 (liczby R1) 2, 5, 8, 11 − przy dzieleniu przez 3 reszta 2 (liczby R2) Zatem w zbiorze {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12} mamy 4 liczby R0, 4 liczby R1 oraz 4 liczby R2 a) Suma kilku liczb jest podzielna przez 3 wtedy, gdy suma reszt tych kilku liczb jest liczbą podzielną przez 3 Z tego wynikają możliwe przypadki: (R0,R0,R0), (R1,R1,R1), (R0,R1,R2), (R2,R2,R2),

	4 3
dla każdego z trzech przypadków: (R0,R0,R0), (R1,R1,R1), (R2,R2,R2) będzie		możliwości

(losujemy 3 z 4 liczb danego typu)

	4 1		4 1		4 1
dla przypadku (R0,R1,R2) będzie		*		*		możliwości

	4 3		4 3		4 3		4 1		4 1		4 1
Odp.		+		+		+		*		*		= 4+4+4 + 4*4*4 = 12 + 64 = 76

b) 3k − liczba podzielna przez 3 (3k)² = 9k² = 3*3k² = 3m − kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest liczbą podzielną przez 3 3k+1 − liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k)+1 = 3m+1 − reszta 1 3k+2 − liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (3k+2)² = 9k²+12k+4 = 9k²+12k+3+1 = 3(3k²+4k+1)+1 = 3m+1 − reszta 1 Zbiór {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} można podzielić na dwie części: {3,6,9,12} − reszta z dzielenia kwadratu tych liczb przez 3 jest równa 0 (4 liczby R0) {1,2,4,5,7,8,10,11} − reszta z dzielenia kwadratu tych liczb przez 3 jest równa 1 (8 liczb R1) Możliwe przypadki: (R0,R0,R0), (R1,R1,R1)

	4 3
W ramach przypadku (R0,R0,R0) mamy		możliwości

	8 3
W ramach przypadku (R1,R1,R1) mamy		możliwości

4 3		8 3		8!		5!*6*7*8		6*7*8
	+		= 4 +		= 4 +		= 4 +		= 4 + 7*8 = 60
				3!*5!		3!*5!		6

Odp. 60 możliwości