a Hugo: Na czym polega kwadraturami Newtona−−Cotesa? Czytałem definicje, nie rozumiem tego kompletnie. Piszę że należy zinterpolować Lagrange a później zcałkować np metodą trapezową. Langrange i trapezem znam. Ale jezeli to tak by było to był by większy jeszcze błąd całości niz jak by od razu funkcje calkować trapezem. Zatem o co chodzi z Newtona−−Cotesa? Z góry dziękuję

g: Nie trapezem. Po znalezieniu wielomianu Lagrange'a całkuje się ten wielomian.

Hugo: tzn patrze tu z punktu trochę informatycznego, gdy konwertuje coś dodatkowo nie potrzebnie to zwiększa się błąd, a mógłbym prosić o jakikolwiek banalny przyklad?

g: f(x) jest spróbkowana w punktach x = 1, 2, 3 i przyjmuje wartości: 6, 7, 5.

	(x−2)*(x−3)		(x−1)*(x−3)
w(x) = 6 *		+ 7 *		+ 5 *
	(1−2)*(1−3)		(2−1)*(2−3)

	(x−1)*(x−2)
	(3−1)*(3−2)

Trzeba to powymnażać, wyjdzie wielomian 2−go stopnia, który trzeba scałkować w przedziale [1,3]. To całkowanie robimy nie numerycznie!

Hugo: rozumiem ! dziekuje swietny przyklad A jak można generować ten wzór w(x) dla większej ilości wyrażeń?

g: Jest na to wzór. Zajrzyj do Wikipedii − wygugluj "wielomian Lagrange'a". Teoretycznie powinno to działać dla dowolnej liczby próbek funkcji f(x), ale dla większej liczby wielomian staje się niestabilny numerycznie na dwa sposoby: 1) wartości wielomianu nie trafiają w wartości funkcji, i 2) między próbkami wielomian jest bardzo zafalowany. Jako przykład do zbadania proponuję funkcję f(x) = 1, ale w jednym z 10−ciu punktów próbkowania f(x) = 2. Obejrzyj wykres wielomianu Lagrange'a.