Całki Blue: Mam problem z następującym całkami:

	x3dx
∫
	√x+x2

	dx
∫
	(5+x)*√x

Blue:

	x3dx
Sorki, ta pierwsza powinna wyglądać tak: ∫
	√2+x2

Jerzy: x² = t

ICSP: II : t = √x ⇒ x = t² ⇒ dx = 2t dt

	2t dt
= ∫		= ...
	(5 + t2)t

Jerzy: Lepiej x² + 2 = t

ICSP: I : √2 + x² = t ⇒ t² = x² + 2 ⇒ x dx = t dt

	(t2 − 2)* tdt
= ∫		= ...
	t

Blue: Dzięki wielkie

Mariusz: Gdyby jednak pierwsza całka wyglądała tak jak na początku to dobrym pomysłem byłoby pierwsze podstawienie Eulera

	x3
∫		dx
	√x+x2

√x+x²=t−x x+x²=t²−2tx+x² x=t²−2tx x+2tx=t² x(2t+1)=t²

	t2
x=
	2t+1

	2t(2t+1)−2t2
dx=		dt
	(2t+1)2

	2t2+2t
dx=		dt
	(2t+1)2

	2t2+t−t2		t2+t
t−x=		=
	2t+1		(2t+1)

	t6	2t+1	2(t2+t)
∫				dt
	(2t+1)3	t2+t	(2t+1)2

	2t6
∫		dt
	(2t+1)4

1		1		5
	t2−		t+
8		4		16

2t⁶:(16t⁴+32t³+24t²+8t+1)

	1
2t6+4t5+3t4+t3+		t2
	8

	1
−4t5−3t4−t3−		t2
	8

	1
−4t5−8t4−6t3−2t2−		t
	4

	15		1
5t4+5t3+		t2+		t
	8		4

	15		5		5
5t4+10t3+		t2+		t+
	2		2		16

	45		9		5
−5t3−		t2−		t−
	8		4		16

	1		1		5		1		80t3+90t2+36t+5
=∫(		t2−		t+		)dt −		∫		dt
	8		4		16		16		(2t+1)4

Teraz można albo rozkładać na sumę ułamków prostych albo skorzystać z metody Ostrogradskiego ,

	1		1		5
=		t3−		t2+		t
	24		8		16

	1		20((2t+1)−1)3+45((2t+1)−1)2+36((2t+1)−1)+10
−		∫
	32		(2t+1)4

	1		1		5
=		t3−		t2+		t−
	24		8		16

1	20(2t+1)3−60(2t+1)2+60(2t+1)−20+45(2t+1)2+90(2t+1)−45+36(2t+1)−36+10
32	(2t+1)4

	1		1		5		1		20(2t+1)3−15(2t+1)2+6(2t+1)−1
=		t3−		t2+		t−		∫		dt
	24		8		16		32		(2t+1)4

	1		1		5		1		20		15
=		t3−		t2+		t−		(∫		dt−∫		dt
	24		8		16		32		2t+1		(2t+1)2

	6		1
+∫		dt−∫		dt)
	(2t+1)3		(2t+1)4

	1		1		5		1		15	1
=		t3−		t2+		t−		(10ln|2t+1|+
	24		8		16		32		2	2t+1

	3	1		1	1
−			+			)
	2	(2t+1)2		6	(2t+1)3

Metoda Ostrogradskiego

	80t3+90t2+36t+5		a2t2+a1t+a0		b0
∫		dt=		+∫		dt
	(2t+1)4		(2t+1)3		2t+1

80t3+90t2+36t+5
	=
(2t+1)4

(2a2t+a1)(2t+1)3−(a2t2+a1t+a0)6(2t+1)2		b0
	+
(2t+1)6		2t+1

80t3+90t2+36t+5
	=
(2t+1)4

(2a2t+a1)(2t+1)−(a2t2+a1t+a0)6+b0(2t+1)3
(2t+1)4

80t³+90t²+36t+5=(2a₂t+a₁)(2t+1)−(a₂t²+a₁t+a₀)6+b₀(2t+1)³ 80t³+90t²+36t+5=(4a₂t²+2a₂t+2a₁t+a₁−(6a₂t²+6a₁t+6a₀) +8b₀t³+12b₀t²+6b₀t+b₀) 80t³+90t²+36t+5=8b₀t³+(12b₀−2a₂)t²+(6b₀+2a₂−4a₁)t+(a₁−6a₀+b₀) 80=8b₀ 90=12b₀−2a₂ 36=6b₀+2a₂−4a₁ 5=a₁−6a₀+b₀ b₀=10 45=6b₀−a₂, a₂=60−45=15 18=3b₀+a₂−2a₁, 2a₁=45−18=27 10=2a₁−12a₀+2b₀, 12a₀=27+20−10=37

	1	180t2+162t+37		2
=			+5∫		dt
	12	(2t+1)3		2t+1

	80t3+90t2+36t+5		1	180t2+162t+37
∫		dt=			+5ln|2t+1|+C
	(2t+1)4		12	(2t+1)3

Teraz trzeba wrócić do poprzedniej zmiennej

dren: niezle