Zbieżność punktowa i jednostajna Przemysław:

	x
Ciąg funkcyjny fn(x)=
	x2+n

funkcje są z |R w |R Proszę o pomoc ze zbieżnością jednostajną i sprawdzenie zbieżności punktowej zbieżność punktowa: ustalam x i badam granicę:

	x
limn→∞		=0
	x2+n

wnioskuję, że f_n(x) jest zbieżny punktowo do funkcji zerowej, dobrze Jak zbadać zbieżność jednostajną? Jeżeli chciałbym powiedzieć, że jest zbieżny punktowo, to potrzebuję jakoś znaleźć np. taką funkcję |f_n0(x)−f(x)|≤ε, że wszystkie dalsze są mniejsze? (wtedy nierówność |f_n(x)−f(x)|≤ε byłaby spełniona dla wszystkich n>n₀, zgodnie z definicją) no to powiedzmy, że zbiega jednostajnie też do funkcji zerowej i spróbuję pokazać to z definicji, a więc, że:

	x
∀ε>0∃n0∊|N∀n>n0∀x∊|R |		|≤ε
	x2+n

Ustalam ε>0

	x
|		|≤ε
	x2+n0

x		x
	≤ε ∨ −		>ε
x2+n0		x2+n0

No i dostaję kłopot ze znakiem, który sugeruje mi, że może jednak to nie będzie zbieżne jednostajnie w ogóle (bo dla dodatnich x to się uda, a dla ujemnych chyba już nie?)

jc:

	x		1
|		| ≤
	x2 + n		2√n

Jaki stąd wniosek?

Przemysław:

	1
Że można każdą funkcję z ciągu oszacować przez
	2√n

Przemysław: Źle! wartość bezwzględną każdej funkcji z ciągu

Przemysław: OK, chyba rozumiem. Mogę wziąć:

	x		1
|		|≤		≤ε
	x2+n		2√n

Przemysław:

	1
Czyli faktycznie zbiegałoby jednostajnie do funkcji zerowej (bo		może być dowolnie
	2√n

małe i jest monotnoczne, malejące − wezmę n₀ jakie potrzebuję, w zależności od ε i dla większych tym bardziej będzie działać)

Przemysław: Dobrze rozumiem?

jc: o.k.

	x √n
A jak będzie z ciągiem fn(x)=		?
	x2 +n

Przemysław: Dziękuję! Punktowo to znowu do 0. A co do jednostajnej, to nawet nie wiem jak wymyśliłeś to oszacowanie ostatnio (i czemu jest prawdziwe), więc niezbyt wiem, jak się za to wziąć Na pewno jest:

	x		x√n
|		|≤|		|
	x2+n		x2+n

może da radę jakieś 3 funkcje?

Przemysław:

	1
...≤		, ale czy to pomaga?
	2

Przemysław: Poczytałem, że jakieś supremum trzeba wyznaczyć Ale przy ustalonym n,

x√n
	nie ma ekstremów, prawda?
x2+n

jc: Nie pytaj, tylko pomyśl

Przemysław: Trochę się rozpisałem Potrzebuję znaleźć taką funkcję g(x), że:

	x√n
|		−g(x)|≤ε
	x2+n

gdzie ε jest dowolnie mały, a n większe od ustalonego n₀. Jeżeli się nie da, to trzeba to pokazać. Jak? Może pokazać, że nawet dla najkorzystniejszej funkcji g(x) to się nie uda? No to kiedy g jest korzystne? A swoją drogą może jeżeli ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji g₁, to jednostajnie też musi być do tej samej? To by wiele wyjaśniało, więc na razie założę, że tak jest. No to g(x) może być tylko g(x)≡0 w takim razie chcę:

	x√n
|		|≤ε
	x2+n

Jeżeli dla największych wartości to zajdzie, to dla wszystkich mniejszych też.

	x√n
potrzebuję poszukać maksymalnej wartości |		|.
	x2+n

	x√n
Jeżeli ustalę n, to przy x→±∞ |		|→0
	x2+n

	x√n
dla x=0 |		|=0
	x2+n

	x√n
dla x=1, |		|≠0
	x2+n

Istnieje podejrzenie, że funkcja gdzieś bardzo gwałtowanie rośnie − takie podejrzenie jest w punktach osobliwych. x²=−n, ale to nie zajdzie dla rzeczywistych x. W takim razie z ciągłości funkcji powinna ona przyjąć wartość największą (osiąganie kresów, na zbiorze zwartym?) Dla jakiego x ona się pojawia? Wydaje się, że wystarczy poszukać ekstremów. Liczę pochodną:

√nx2+n√n−2x2√n
(x2+n)2

miejsca zerowe:

√nx2+n√n−2x2√n
	=0
(x2+n)2

x²(√n−2√n)+n√n=0 −n√nx²+n√n=0 x²=1 x=1 lub x=−1 znak x nie ma znaczenia, bo wartość bezwzględna. Tylko, czemu to muszą być maksima, jeżeli to ekstrema, dlaczego nie minima? Jeżeli byłoby jakieś minimum, to w którymś miejscu musi też być i tak maksimum (a w każdym razie wartość lokalnie maksymalna), bo w zerze jest wartość 0 i w nieskończoności dąży do zera − gdzieś musi rosnąć i gdzieś musi przestać rosnąć − tam będzie maksimum). W takim razie, skoro są dwa punkty stacjonarne, a znak nie ma znaczenia, to musi to być maksimum. Wystarczy więc pokazać, że:

	√n
|		|≤ε
	1+n

	√n
a to już jest prawda, bo |		|→0
	1+n

Przemysław: Dziękuję bardzo

jc: Ekstrema f_n, to szkolne zadanie. Licz dalej

Przemysław: Znaczy jest źle, czy dobrze

Przemysław: Ale będę, będę, bo jak na razie słabo.

jc: | f_n(x) | ≤ 1/2 f_n( ±√n ) = ± 1/2 Wniosek: ciąg f_n nie jest zbieżny jednostajnie na R.

Przemysław: Skąd ten wniosek? Bo coś nie łapię

	x√n
Chodzi o to, że ∃ε (np. ε=1) ∃x (np. x=√n) i wtedy nie zachodzi:		>ε
	x2+n

No to, gdzie ja głupoty napisałem? Ekstrema źle?

Przemysław: W każdym razie, dziękuję