Długość krzywej Mariusz: Długość elipsy

x2		y2
	+		=1
a2		b2

x
	=cos(t)
a

y
	=sin(t)
b

x=acos(t) y=bsin(t) dx=−asin(t)dt dy=acos(t)dt 4∫√a²sin²(t)+b²cos²(t)dt 4∫√a²(1−cos²(t))+b²cos²(t)dt 4∫√a²−(a²−b²)cos²(t)dt

	a2−b2
ε2=
	a2

4∫√a²−a²ε²cos²(t)dt 4a∫√1−ε²cos²(t)dt

	π
t=		−θ
	2

Dla przedziału całkowania pokrywającego się z pierwszą ćwiartką to podstawienie pozwala zamienić cosinusa na sinusa bez zmiany przedziału 4a∫√1−ε²sin²(θ)dθ

	1/2 n
(1−ε2sin2(θ))1/2=∑(−1)n		ε2nsin2n(θ)

1/2 n		(−1)n		1*3*5* *(2*n−3)*(2*n−1)*2*4*6* * 2n
	=		∑
		2n n!		(1−2*n)*2*4*6* * 2n

1/2 n		(−1)n(2n)!
	=
		4n(n!)2(1−2n)

	(2n)!ε2n
∑		sin2n(θ)
	4n(n!)2(1−2n)

∫sin²ⁿ(θ)dθ=∫sin(θ)sin²ⁿ⁻¹(θ)dθ=−cos(θ)sin²ⁿ⁻¹(θ)+(2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(θ)cos²(θ)dθ ∫sin²ⁿ(θ)dθ=−cos(θ)sin²ⁿ⁻¹(θ)+(2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(θ)(1−sin²(θ))dθ ∫sin²ⁿ(θ)dθ=−cos(θ)sin²ⁿ⁻¹(θ)+(2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(θ)dθ−(2n−1)∫sin²ⁿ(θ)dθ 2n∫sin²ⁿ(θ)dθ=−cos(θ)sin²ⁿ⁻¹(θ)+(2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(θ)dθ

	1		2n−1
∫sin2n(θ)dθ=−		cos(θ)sin2n−1(θ)+		∫sin2n−2(θ)dθ
	2n		2n

	2n−1
In=		In−1
	2n

	(2n−1)(2n−3)(2n−5)* *5*3*1*2*4*6* *2n	π
In=
	4n*(n!)2	2

	(2n)!	π
In=
	4n*(n!)2	2

	(2n)!ε2n
4a∫∑		sin2n(θ)dθ
	4n(n!)2(1−2n)

	((2n)!)2	1	π
4a∑				ε2n
	16n(n!)4	1−2n	2

jc: Mariusz ∫₀^2π cos²ⁿ t dt liczymy w pamięci. cos²ⁿ t = 2⁻²ⁿ (e^it + e^−it)²ⁿ

	2n n
Tylko całka ze środkowego składnikajest, czyli z		2−2n jest niezerowa

	2n n
i oczywiście równa 2π		2−2n.

g:

	b2 cos t − a2 sin t
r2(t) = a2 cos t + b2 sin t r ' (t) =
	2r

L = ∫₀^2π √r²(t) + (r ' (t))² dt

Mariusz: Ten szereg który otrzymałem jest chyba dobry dla długości całej elipsy a co jeśli chcielibyśmy policzyć tylko długość łuku elipsy (niekoniecznie na przedziale równym okresowi funkcji trygonometrycznych sin,cos) a − połowa osi wielkiej elipsy R⁺ ε − mimośród elipsy <0,1) jc ale ja liczyłem tylko po pierwszej ćwiartce a na koniec przemnożyłem wynik przez 4 i do obliczenia tej całki będzie jednak potrzebny wzór rekurencyjny wyprowadzany przez części Jak liczyłem bez korzystania z postaci parametrycznej to dostałem podwójną sumę której programy matematyczne nie chciały policzyć