Pochodna Przemysław:

	1
Policzyć z definicji pochodną: x2sin(		) dla x≠0
	x

Przemysław: Doszedłem do takiego czegoś:

	h   2x+h   −2x2sin cos   2x(x+h)   2x(x+h)		1
limh→0(		+(2x+h)sin		)
	h		x+h

i dalej nie wiem co

g:

	1   1   (x+h)2*sin − x2*sin   x+h   x
limh→0		=
	h

	1   1   1   1   x2*(sin − sin ) + 2x*h*sin + h2*sin   x+h   x   x+h   x+h
= lim
	h

	1
Granice drugiego i trzeciego składnika liczą się prosto, jest to 2x*sin		.
	x

	1
Kłopot jest z sin		, bo bez dodatkowych zabiegów nie da się tego przedstawić
	x+h

	1		1		1−h/x
jako sin		+ coś*h. Pierwszy krok jest taki:		=		.
	x		x+h		x*(1−h2/x2)

W tym miejscu można powiedzieć, że h²/x² jest do pominięcia, i dalej już jest łatwo. Żeby było jasne że tak można zrobić powtórzę zabieg mnożenia licznika i mianownika przez to samo, tym razem (1+h²/x²),

1−h/x		1−h/x + h2/x2 − h3/x3
	=
x*(1−h2/x2)		x*(1−h4/x4)

Tą operację można powtarzać dowolną liczbę razy, za każdym razem zwiększając dwukrotnie potęgę hⁿ/xⁿ w mianowniku, a więc dowolnie go zmniejszając. W liczniku zawsze będzie 1−h/x + o(h²), gdzie o(h²) symbolizuje jakąś wielkość M*h², przy czym M jest skończone. Składniki o(h³) i wyższe można pominąć, bo o(h²) jest dominujący.

	1		1−h/x+o(h2)
Mamy więc:		=		.
	x+h		x

	1−h/x+o(h2)   1   sin − sin   x   x
lim		=
	h

	sin(1/x)*cos(h/x2 + o(h2)) − cos(1/x)*sin(h/x2 + o(h2)) − sin(1/x)
= lim
	h

cos(h/x2 + o(h2))		sin(h/x2 + o(h2))
	→ 0,		→ h/x2.
h		h

Dalej już łatwo.

g: W ostatnim wzorze .... → 1/x².

jc: Gdyby przyjąć, że f(0)=0, to milibyśmy przykład funkcji różniczkowalnej w każdym punkcie, która ma nieciągłą pochodną w jednym punkcie, a mianowicie w zerze. f'(x) = − cos(1/x) + 2*x*sin(1/x) f'(0) = 0 Być może taki był cel tego zadania. Oczywiście pochodną w zerze liczymy bezpośrednio z definicji.

Przemysław: Dziękuję bardzo! A co do nieciągłości pochodnej, to argument jest taki, że lim_x→0 (− cos(1/x) + 2*x*sin(1/x)) nie istnieje?