parametr gibon: Wyznacz liczbę rozwiązań równania

x+2
	=m
x2+1

w zależności od parametru m.

ZKS: Najpierw ustalmy dziedzinę. D = R Dla m = 0 mamy jedno rozwiązanie. Zakładamy, że m ≠ 0 i przekształcamy równoważnie to równanie. x + 2 = m(x² + 1) mx² − x + m − 2 = 0 Teraz już standardowo, jak dla funkcji kwadratowej.

yht: D: x²+1≠0 → x∊R

x+2
	=m |*(x2+1)
x2+1

x+2=m(x²+1) x+2 = mx²+m −mx²+x+2−m=0 a=−m, b=1, c=2−m Δ=b²−4ac = 1²−4*(−m)*(2−m) = 1+4m(2−m) = 1+8m−4m² = −4m²+8m+1 2 rozwiązania gdy Δ>0 i a≠0 1 rozwiązanie gdy Δ=0 lub a=0 0 rozwiązań gdy Δ<0 Δ>0 ⇔ −4m²+8m+1>0 Δ_m=64−4*(−4)*1 = 64+16 = 80 √Δ_m = √80 = √16*5 = 4√5

	−8−4√5		8+4√5		2+√5
m1=		=		=
	−8		8		2

	2−√5
m2 =
	2

	2−√5		2+√5
m∊(		,		)
	2		2

a≠0 ⇔ −m≠0 → m≠0 Odp.

	2−√5		2+√5
2 rozwiązania dla m∊(		,		) \ {0}
	2		2

	2−√5		2+√5
1 rozwiązanie dla m∊{		, 0,		}
	2		2

	2−√5		2+√5
0 rozwiązań dla m∊(−∞,		) ∪ (		, +∞)
	2		2