pochodne xxxy: Wyznacz zbior wartosci funkcji

	x−4
f(x)=
	x2+9

yht: D: x²+9≠0 → x∊R

	(x−4)'*(x2+9)−(x−4)*(x2+9)'		1*(x2+9)−(x−4)*2x
f'(x)=		=		=
	(x2+9)2		(x2+9)2

	x2+9−2x2+8x		−x2+8x+9
		=
	(x2+9)2		(x2+9)2

	−x2+8x+9
f'(x)>0 ⇔		> 0 |*(x2+9)2
	(x2+9)2

−x²+8x+9 > 0 Δ=64−4*(−1)*9 = 64+36 = 100 → √Δ = 10

	−8−10
x1=		= 9
	−2

	−8+10
x2=		= −1
	−2

x∊(−1,9) f'(x)>0 ⇔ x∊(−1,9) f'(x)<0 ⇔ x∊(−∞, −1) ∪ (9, +∞) wnioski: f(x) w przedziale x∊(−∞, −1) jest malejąca x∊(−1,9) jest rosnąca x∊(9, +∞) jest malejąca zatem dla x=−1 jest najmniejsza wartość a dla x=9 jest największa

	−1−4		−5		−5		1
f(−1) =		=		=		= −
	(−1)2+9		1+9		10		2

	9−4		5		5		1
f(9) =		=		=		=
	92+9		81+9		90		18

	1		1
zbiór wartości to <−		,		>
	2		18

wredulus_pospolitus: yht ... uwaga z wyrażeniami: "zatem dla x=−1 jest najmniejsza wartość" <−−− to wcale nie jest powiedziane (tylko) na podstawie monotoniczności to tak samo jakbyś napisał, że w g(x) = (x−1)(x−2)² to dla x₀ = 2 przyjmowała najmniejszą wartość. Faktycznie dla x=−1 funkcja ta przyjmie wartość najmniejszą, a największą dla x=9 i powyższe obliczenia są konieczne do stwierdzenia tego ... ale nie są WYSTARCZAJĄCE Brakuje bowiem: f(x) = 0 ⇔ x = 4 (miejsce zerowe funkcji) Wtedy wiemy, że: skoro f↘ w przedziale (−∞, −1), natomiast f(−1) < 0, to f(x) < 0 dla x∊(−∞, −1) pomimo, że f↘ w przedziale (9, +∞), to i tak f(x) > 0 dla x∊(9, +∞) (patrz f(9) > 0 + x=4 to JEDYNE miejsce zerowe funkcji + D_f = R) To dopiero 'załatwia' sprawę największej i najmniejszej wartości funkcji Alternatywą (do wyznaczania miejsca zerowego i pisania tego co pisałem) jest policzenie granic lim_x−>−∞ f(x) oraz lim_x−>∞ f(x) i wyciągnięcie odpowiednich wniosków patrząc na granice i monotoniczność samej funkcji

yht: a gdybym napisał że f(x) jest ciągła to sama monotoniczność by nie starczyła ?