Szereg Przemysław: Jest to część ciekawszego zagadnienia:

	1
czy każdą liczbę z przedziału [0,		] można zapisać jako sumę szeregu:
	2

∞

	1
∑(−1)j*
	3k

k=1 (j−ty dobieramy z 0,1,2)

Przemysław: Jeszcze jedno pytanie: czy przedstawienie jest jednoznaczne?

Przemysław: Odświeżam.

Przemysław: .

Przemysław: .

Przemysław:

Przemysław:

Przemysław:

Przemysław:

Przemysław:

Janek191: tak

Przemysław: Do jednego i drugiego tak? Można prosić o dowód/szkic dowodu?

Przemysław: .

jc: Czym różni się j=0 od j=2? (−)⁰ = (−1)² = 1 Rozumiem, że mamy liczby 1/3, 1/9, 1/27, ... z pewnymi współczynnikami. Czy mógłbyś wyjaśnić, jakie możemy brać współczynniki? Teraz wydaje się, że są to liczby 1 lub −1. Jesli tak, to na pewno nie uzyskamy żadnej liczby mniejszej od 1/6.

Przemysław: j=0 i j=2 faktycznie daje to samo, mój błąd. Wyjaśnienie co do współczynników: możemy brać 0,1,−1

jc: Można nieco ogólniej: [−1/2, 1/2]. Dowolny punkt odcinka A oddalony jest o nie więcej niż 1/2 od zera. Dodając odpowiednio n składników możemy zmniejszyć odległoś od punktu A do nie więcej niż 1/(2*3ⁿ). Krok indukcyjny mogę uzasadnić, ale dopiero jutro po południu. Czas na sen ... To wystarczy.

jc: Można nieco ogólniej: [−1/2, 1/2]. Dowolny punkt odcinka A oddalony jest o nie więcej niż 1/2 od zera. Dodając odpowiednio n składników możemy zmniejszyć odległoś od punktu A do nie więcej niż 1/(2*3ⁿ). Krok indukcyjny mogę uzasadnić, ale dopiero jutro po południu. Czas na sen ... To wystarczy.

jc: Inaczej. Każdą liczbę z przedziału [0,1] zapiszemy w postaci ∑₀^∞ m_k/3^k gdzie m_k = 0,1,2 (ułamek o podstawie 1/3). j_k = m_k − 1 = −1, 0, 1 ∑₀^∞ j_k /3^k = ∑₀^∞ m_k/3^k − ∑₀^∞ 1/3^k = ∑₀^∞ m_k/3^k − 1/2 A więc każdą liczbę z przedziału [0−1/2, 1−1/2], czyli z przedziału [−1/2,1/2] zapiszemy w zproponowany przez Ciebie sposób.

Przemysław: Dziękuję! Jednak jakbyś ten krok indukcyjny napisał to byłbym wdzięczny A w drugiej metodzie to: 1) skąd wiadomo, że każdą liczbę z [0,1] zapiszemy w postaci ∑^∞₀m_k/3^k 2) rozumiem, że jeżeli szereg jest bezwględnie zbieżny i szeregi utworzone z jakichś wybranych wyrazów też są zbieżne, to wyniki są równe? − chodzi mi o równość w trzeciej linijce od dołu.

jc: A skąd wiadomo, że każdą liczbę z przedziału [0,1] zapiszemy w postaci (zwykle nieskończonego) ułamka dziesiętnego? Dowód w przyadku ∑m_k/3^k. S_k = m₁/3 + m₂/9 + ... + m_k/3^k Dobieramy, k_i tak, aby: a − 1/3^k < S_k ≤ a Indukcyjnie okreslamy kolejny wyraz. Jako m_k+1 wybieramy największą z liczbb 0,1,2 taką, że S_k +m_k+1/3^k+1 ≤ a. Wtedy S_k+1 + 1/3^k+1 > a, czyli a − 1/3^k+1 < S_k+1. Jeśli, a − 1/3^k < S_k ≤ a, to z twierdzenia o 3 ciągach S_k →a. Uwaga. Oczywiscie od pwenego miejsca możemy mieć same zera.

jc: Poprawka: dobieramy m₁, m₂, ..., m_k tak, aby a −1/3^k < S_k ≤ a.

Przemysław: Bardzo ładnie, dziękuję. A jeszcze − skąd wiadomo, że przedstawienie jest jednoznaczne? Jeżeli nie jest, to jaki byłby kontrprzykład? Potrzeba by było pokazać, że nie ma dwóch szeregów zadanej postaci, że sumują się do tej samej liczby. Przychodzi mi do głowy taki pomysł: załóżmy, że są dwa takie szeregi. Wypiszę ich sumy częściowe:

	1		1
a1*		+...+an*		→g
	3		3n

	1		1
a1'*		+...+an'*		→g
	3		3n

oba szeregi są bezwzględnie zbieżne, więc chyba zachowują się ładnie? odejmę je od siebie

1		1
	*(a1−a1')+...+an*		(an−an')
3		3n

i chyba różnica powinna zbiegać do różnicy granic, czyli 0? ale wiemy, że istnieje: j, że a_j−a_j'≠0, czyli nie może to zbiegać do 0 Dobrze?

Przemysław: Ale znowu mnie to trochę nie przekonuje, bo to j może być bardzo duże i wtedy może będzie:

	1
(aj−aj')*		→0
	3j

jc: Nie ma jednoznaczności: 2/9 + 2/27 + 2/81 + ... = 1/3 W oryginalnym sformułowaniu 1/3 − 1/9 − 1/27 − 1/81 + ... = 1/6 = 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...

jc: 0.999999999999....=1

Przemysław: Faktycznie. No trudno Dziękuję bardzo.

Przemysław: Co do 19:51, to ok − w naszym przypadku to z resztą widać, bo 1/3+1/9+...=1/2 1/9+1/27+...=1/3(1/3+1/9+...)=1/3*1/2=1/6 1/3−1/6=1/6