Parametr m Domcia: Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równianie x³ − mx + 2 = 0 ma trzy rozwiązania. Pomoże ktoś?

ICSP: m ≥ 3 Z tym, ze dla m = 3 dostajemy trzy rozwiazania z czego jedno jest podwójne.

jc: Suma pierwiastków = 0, iloczyn pierwiastków = −2. Niech więc pierwiastkami będą liczby: a, b, −a−b (a >0, b>0, a≠b) Wtedy f(x)=x³ − mx + 2 = (x−a)(x−b)(x+a+b) = x³ − (a² + b² + ab) x + ab(a + b) Stąd a²+b²+ab = m, ab(a+b)=2. Ale (a+b)/2 > (ab)^1/2 i dlatego 2 = ab(a+b) > 2 (ab)^3/2. Dlatego ab < 1 i a+b > 2. Teraz m = (a+b)² − ab > 4 − 1 = 3. Wynika stąd, że warunkiem koniecznym jest nierówność m > 3. Jest to również warunek wystarczjący: f(0) = 2 > 0, f(1) = 3 − m < 0. Zatem pomiędzy 0 i 1 leży jeden pierwiastek, a po lewej i prawej 2 pozostałe.