indukcja matematyczna nierówności i_love_delta: Udowodnij nierówność indukcyjnie: n ∑ 1/√i>√n dla n≥2 i=1 Pierwszy krok (dla n=2) mi się zgadza, ale w drugim dochodze do czegoś takiego teza: n+1 ∑ 1/√i>√n+1 dla n≥2 i=1 ∑ 1/√i + 1/√n+1 > √n + 1/√n+1 no i generalnie nic mądrego z tego nie wychodzi Jak żyć?

wredulus_pospolitus: zauważ, że:

	1		1		1		1
∑in+1		=		+ ∑in		>		+ √n =
	√i		√n		√i		√n

	1+n		1+n
=		>		= √n+1
	√n		√n+1

c.n.w. czerwona nierówność jest z tezy niebieska nierówność −−− zastanów się chwilę nad nią

wredulus_pospolitus: cholera ... na samiutki początku gafę strzeliłem ... jeszcze raz

wredulus_pospolitus:

	1		1		1		1
∑in+1		=		∑in		>		+ √n =
	√i		√n+1		√i		√n+1

	1 + √n(n+1)		n+1
=		>		= √n+1
	√n+1		√n+1

niestety nierówność niebieską trza wykazać, bo nie jest ona oczywista 1 + √n(n+1) > n+1 ⇔ √n(n+1) > n ⇔ n(n+1) > n² ⇔ n² + 2n > n² ⇔ n>0

i_love_delta: te sume ∑i^{n 1}_√i zamieniłeś na sume ciagu arytmetycznego i stąd to ^1+√n(n+1_√n+1 ?

wredulus_pospolitus: w udowodnianiu hipotezy trza zawsze dążyć do wykorzystania tezy

	1
1) stąd wychodzę od lewej z hipotezy ( ∑in+1		)
	√i

	1
2) wyłączę z sumy		, aby otrzymać identyczną sumę jak w tezie
	√n+1

3) korzystam z hipotezy 'przechodząc na prawą stronę tezy' 4) i teraz staram się dojść do prawej strony hipotezy a sama niebieska nierównośc może być łatwo zapisana: 1 + √n(n+1) > 1 + √n*n = 1 + n =

i_love_delta: 1 + √n(n+1) = −−−−−−−−−−−−−− √n(n+1) może mi ktoś jeszcze wyjaśnić jak z lewej strony równania otrzymaliśmy takie coś? można sobie te sigme zapisać jako sumę wyrazów ciągu arytmetycznego?

i_love_delta: tfu, w mianowniku oczywiście √n+1, mea culpa

i_love_delta: albo nie, jednak lepiej skąd się wzieła praw strona nierówności, lewą juz ogarniam n+1 ... > −−−−−−−− = √n+1 √n+1