równania rekurencyjnie - UF indukcja matematyczna: Witam. Mam rozwiązać rekurencyjnie taki ciąg oraz podać UF. Nie bardzo właśnie wiem o co z tym UF chodzi.. A_n+2 = 2A_n+1 − 2A_n rⁿ⁺² = 2rⁿ⁺¹ − 2rⁿ r² = 2r − 2 r² − 2r + 2 = 0 r₁ = 1 − i r₂ = 1 + i |z1| = √2

	1
cos fi =
	√2

	−1
sin fi =
	√2

	7
fi1 =		pi
	4

	1
fi2 =		pi
	4

	7		7
r1 = √2(cos		pi + isin		pi )
	4		4

	1		1
r2 = √2(cos		pi + isin		pi)
	4		4

Wyznaczyłem postać trygonometryczną i co teraz powinienem zrobić?

jc: A_n = [ B cos(nπ/4) + C sin(nπ/4) ] 2^n/2 B, C dowolne stałe, dobieramy np. tak, aby być w zgodzie z warunkami początkowymi. Ale czasem wygodniej zostawić w postaci A_n = F (1+i)ⁿ + G (1−i)ⁿ

jc: UF to pewnie skrót od Układ Fundamentalny Fundamentalny układ rozwiązań równania (uładu równań) liniowego, to baza przestrzeni rozwiązań równania jednorodnego. W naszym przypadku bazą może być: 2^n/2 cos(πn/4), 2^n/2 sin(πn/4) Inną bazą (bardziej podstawową) może być układ: (1+i)ⁿ, (1−i)ⁿ

indukcja matematyczna: Jak mam rozumieć 2^n/2? Skąd to się wzięło?

indukcja matematyczna: Dobra, to jest ten pierwiastek.. Skąd wzięło się te n w liczniku? Rozumiem, że zawsze te n tam dopisujemy?

indukcja matematyczna: Kolejne pytanie.. Co stało się z r₂? Tutaj widzę u was tylko r₁.

jc: Wzór de Moivre'a [r (cos α + i sin α) ]ⁿ = rⁿ [ cos nα + i sin nα ]

jc: Są dwa wyrazy: r₂ = 1+ i, r₁ = 1 − i Odpowiedź to r₁ⁿ, r₂ⁿ

indukcja matematyczna: Nadal nie bardzo rozumiem skąd ten układ wziąć. Mam taki latwiejszy przykład jak: a_n+2 = −2a_n+1 − a_n r² = −2r −1 r²+2r+1=0 (r+1)²=0 r+1=0 r=−1 Jaki tutaj jest UF?

jc: To akurat trudniejszy przykład. Mamy pierwaistek wielokrotny. Układ fundamentalny: (−1)ⁿ, n*(−1)ⁿ

indukcja matematyczna: Dobra, czyli na pewno w tym układzie jest liczba, która wychodzi na końcu, czyli r. Mam rozumieć, że zawsze dopisujemy do tego potęgę n^? Jest ktoś wstanie jakoś łatwo wytłumaczyć?

jc: Nie rozumiem pytania. Jak masz 2 różne pierwiastki r ≠ p, to układem fundamentalnym jest: rⁿ, pⁿ. Jak masz pierwiastek dwukrotny r, to układem fundamentalnym jest: rⁿ, n * rⁿ.