log Metis: Wykaż, że jeśli a>0 i b>0 i a≠1 i b≠1, to |log_ab+logb_a|≥2 Wiemy, że a²=|a|², zatem przekształcam równoważnie nierówność: |log_ab+logb_a|≥2 /² (obie strony nierówności są nieujemne) |log_ab+log_ba|² ≥4 ⇔ (log_ab+log_ba)² ≥4 (log_ab+log_ba)²−4≥0 (log_ab+log_ba−2)(log_ab+log_ba+2)≥0

	1		1
(logab+		−2)(logab+		+2)≥0
	logab		logab

	(logab)2+1		(logab)2+1
(		−2)(		+2)≥0
	logab		logab

	(logab)2+1−2logab		(logab)2+1+2logab
(		)(		)≥0
	logab		logab

	(logab−1)2		(logab+1)2
(		)(		)≥0
	logab		logab

[(logab−1)(logab+1)]2
	≥0 / * (logab)2
(logab)2

[(log_ab−1)(log_ab+1)]²}≥0 Każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. c.n.p Jest

kochanus_niepospolitus: tia

Metis: Może ktoś na inny pomysł wpadnie

kochanus_niepospolitus:

	1
możesz też (na przykład) wykazać, że funkcja f(b) = |logab +		| ≥ 2 (dla dowolnego
	logab

a) wystarczy więc pokazać, że funkcja ta posiada dwa minima lokalne które spełniają warunek f(x₀) ≥2

bry: |log_ab + log_ba| ≥ 2

	1
logba =
	logab

Niech t = log_ab

	1
|t +		| ≥ 2
	t

	1
√ (t +		)2 ≥ 2 / ()2
	t

	1
(t +		)2 ≥ 2
	t

	2t		1
t2 +		+		≥ 4
	t		t2

	1
t2 + 2 +		≥ 4
	t2

t⁴ + 2t² + 1 ≥ 4t² t⁴ − 2t² + 1 ≥ 0 ⇒ (t² − 1)² ≥ 0

Mila:

	1
loga(b)=
	logb(a)

Podstawienie : log_a(b)=u, u≠0

	1
|u+		|≥2
	u

dalej sam.

Metis:

	1
|u+		|≥2
	u

	1
|u+		|≥2 /2
	u

Korzystam z wł. a²=|a|²

	1
(u+		)2≥2 − czy w tym momencie mogę skorzystać ze średniej ?
	u

	2
u2+		+1−2≥0
	u

	2
u2+		≥1
	u

u3+2
	≥1 / u2
u

u(u³+2)≥u² I nie wiem czy wrócić już do podstawienia

Eta: |x|+|y|≥|x+y| ≥2

	1		1
|x|= |logab| , |y|= |		|=		i uwzględniając założenia
	logab		|x|

z nierówności między średnimi am−gm

1   |x|+   |x|		1
	≥√|x|*		=1
2		|x|

....................

Metis: Nie lubię tych dowodów algebraicznych

Metis: Milu a ty jaki sposób miałaś na myśli ? Taki jak Eta ?

Mila: Dla u>0 prawdziwa jest nierówność:

	1
u+		≥2 przekształcam równoważnie
	u

u2+1
	≥2 /*u
u

u²+1≥2u u²−2u+1≥0 (u−1)²≥0 nierówność prawdziwa , równość zachodzi dla u=1⇔

	1
|u+		|≥2 dla dowolnego u≠0
	u

	1		1
|−u+		|=|u+		|
	−u		u

Metis: A skąd dodatkowe założenie u>0 ?

Mila: Zakładam, aby wiadomy był znak u przy mnożeniu obu stron nierówności przez u. Na końcu masz zapisane co z ujemnymi, wyrażenie jest "obłożone" wartością bezwzględną . Wyjaśniam na konkrecie.

	1		1
|5+		|=|−5+		|
	5		−5

Metis: Dziękuje Nie wiedziałem , czy aby na pewno mogę wprowadzić takie założenie bo takie przekształcenie, które zrobiłem do niczego tak naprawdę nie prowadzi Dobranoc

Mila: Dobranoc