Układ równań z 4 niewiadomymi cinek: Mam rozwiązać następujący układ równań:

⎧	a=x*cosα − z*sinα
⎜	b=z*cosα − y*sinα
⎨	c=x*sinα + z*cosα
⎩	d=z*sinα + y*cosα

Znane są a, b, c, d. Trzeba obliczyć x, y, z, alfa. 4 niewiadome − 4 równania. Ale jak się za to zabrać? Proszę o pomoc.

g:

	a+d
Dodaj równania 1) + 4). Wyznacz cosα=
	x+y

	c−b
Odejmij 3) − 2). Wyznacz sinα =
	x+y

Wstaw sin i cos do wszystkich równań, wymnóż stronami przez (x+y) i uformuj cztery równania liniowe dla zmiennych x,y,z. Okaże się że drugie i trzecie równania są takie same, oraz pierwsze i trzecie są takie same. Zostaną dwa. d*x − a*y − (c−b)*z = 0 b*x + c*y − (a+d)*z = 0 Wyznaczamy x i y w funkcji z: x = z * [a(a+d) + c(c−b)] / (ab+cd) y = z * [d(a+d) − b(c−b)] / (ab+cd) Teraz równania 1) i 3) podnosimy do kwadratu i sumujemy. Dostajemy: a² + c² = x² + z² Za x podstawiamy x z poprzedniego równania i dostajemy liniowe równanie na z². Wyznaczamy z² i z. Cofając się wyznaczamy x i y, i na końcu sinα i cosα. Nie umiałem zgrabnie uprościć wzoru wynikowego, ale obliczyć według tego opisu powinno się dać. Warto zauważyć, że jeśli zestaw x,y,z,α jest rozwiązaniem, to rozwiązaniem będzie również −x,−y,−z,α+π.

jc: Przepisujemy układ równań tak: x = (cos α) a + (sin α) c z = − (sin α) a + (cos α) c z = (cos α) b + (sin α) d y = − (sin α) b + (cos α) d Porównujemy równania II z III. (sin α) (d + a) = (cos α) (c − b)

	c−b
tg α =		, osobno przypadek, kiedy d+a =0
	d+a

Wyliczamy α. Teraz równania I, II, IV dają nam x, z, y.

jc: Nie musimy znać α.

	d+a
cos α =
	(d+a)2 + (c−b)2

	c−b
sin α =
	(d+a)2 + (c−b)2

	(d+a)a + (c−b) c
x =
	(d+a)2 + (c−b)2

	− (c−b) b + (d+a) d
y =
	(d+a)2 + (c−b)2

	(ab + cd)/2
z =
	(d+a)2 + (c−b)2

g: Dobre! Nie wpadłem, że to są wzory na obrót układu współrzędnych, które można sprytnie odwrócić.

cinek: Bardzo dziękuję za pomoc!