23 dni
Metis: Udowodnij, że liczba a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest
wspólnym miejscem zerowym tego wielomianu i jego pochodnej.
f(x)=(x−a)
3
f'(x)=3(x−a)
2
Jak to udowodnić?
10 kwi 15:20
ICSP: a − pierwiastek k−krotny wielomianu w(x), więc
w(x) = (x−a)kp(x) gdzie p(a) ≠ 0
Zróżniczkuj to i wyciągnij wnioski.
10 kwi 15:26
Kacper:
Należy pamiętać, że dowód musi być w dwie strony.
10 kwi 15:27
Metis: Różniczkujemy:
W(x)=(x−a)
kP(x)
W'(x)=k(x−a)
k−1+(x−a)
kP'(x)
Niczego tutaj nie zauwazam
10 kwi 15:40
ICSP: Zróżniczkuj poprawnie.
10 kwi 15:50
Jack:
w ' (x) = k(x−a)k−1 * P(x) + P'(x) * (x−a)k
10 kwi 15:53
Metis: No tak zjadłem P(x).
10 kwi 15:53
Benny: @Kacper Jak w dwie strony? Przecież to twierdzenie nie zachodzi w drugą stronę.
10 kwi 15:54
model matematyczny: rozpisz sobie ten fx wymnoz i wtedy rob ta podchodna bo liczyc nie umiesz jej
10 kwi 16:00
Jack: nie widze bledu w poscie 15;20
10 kwi 16:09
Metis: ICSP nakierujesz ?
10 kwi 16:26
ICSP: Przecież masz już praktycznie gotowe rozwiązanie.
10 kwi 16:27
Metis: Jakoś tego nie widzę.
10 kwi 16:29
ICSP: Wyciągnij (x−a)k − 1 przed nawias i pokaż, ze to co zostanie w nawiasie nie moze być równe
0.
10 kwi 16:30
ZKS:
Benny o to chodzi.
Najpierw pokazujemy, jeżeli a jest pierwiastkiem wielokrotnym to W(a) = 0 oraz W'(a) = 0.
W(x) = (x − a)kP(x)
W'(x) = k(x − a)k − 1P(x) + (x − a)kP'(x) = (x − a)k − 1[kP(x) + (x − a)kP'(x)]
W(a) = 0 oraz W'(a) = 0
Teraz odwrotnie, jeżeli W(a) = 0 oraz W'(a) = 0 to a jest pierwiastkiem wielokrotnym
W(x) = (x − a)P(x)
W'(x) = P(x) + (x − a)P'(x)
wiemy, że W'(a) = 0, zatem żeby a było pierwiastkiem W'(x) to P(a) = 0, skoro P(a) = 0 to
P(x) = (x − a)Q(x), więc W(x) = (x − a) • (x − a)Q(x) = (x − a)2Q(x).
10 kwi 16:32
ZKS:
ICSP proszę usuń mój post nie widziałem wpisów tych co teraz pisaliście, że nakierowujesz
na rozwiązanie.
10 kwi 16:34
Metis: Dzięki
Muszę przeanalizować to co napisaliscie
10 kwi 16:34
jc:
Zakładamy, że f(a)=0, f'(a)=0 (może trzeba dodać, że stopień f ≥ 2?)
f(a) = 0 ⇒ f(x)=(x−a)g(x)
f'(x) = (x−a)g'(x)+g(x)
0 = f'(a) = g(x) ⇒ f(x)=(x−a)h(x)
czyli f(x) = (x−a)2 h(x), co oznacza, że a jest pierwiastkiem wielokrotnym f
10 kwi 16:35
ZKS:
Oczywiście, gdzie napisałem " Teraz odwrotnie " to te P(x) nie jest tym samym P(x) co na górze.
Najlepiej oznaczyć je inaczej.
10 kwi 16:38