#Matura
Jack: Dany sa ciagi:
bn = 2* 5n−1
cn = 5n − 10
Zbadaj monotonicznosc ciagu xn jesli :
xn = bn + cn
No to skoro obydwa sa rosnace to trzeci tez jest... Ale jak to uzasadnic ?
9 kwi 14:09
Oopp: xn= 2*5(n−1) +5n−10
xn+1= 2*5n + 5 (n+1)−10
xn+1− xn .. wynik jest większy od 0
9 kwi 14:21
Saizou :
zachodzi nawet coś ogólniejszego, suma dwóch funkcji rosnących jest rosnąca
(przypominam że w LO ciąg to funkcja okrojona do N)
Niech f i g są rosnące na przedziale (a,b), tzn. dla każdego x1,x2 należącego do (a,b) ,
takiego że
x1>x2 mamy
f(x1)>f(x2) oraz g(x1)>g(x2).
Weźmy h=f+g
h(x)=f(x)+g(x)
Załóżmy dla dowodu nie wprost że h nie jest rosnąca, tzn
dla każdego x1>x2 mamy h(x1)≤h(x2)
h(x1)−h(x2)≤0
f(x1)+g(x1)−(f(x2)+g(x2)=f(x1)−f(x2)+g(x1)−g(x2)
Ale z założenia mamy że f jest rosnąca tzn. f(x1)>f(x2) zatem f(x1)−f(x2)>0 oraz
g(x1)>g(x2) czyli g(x1)−g(x2)>0
Stąd
h(x1)−h(x2)=f(x1)−f(x2)+g(x1)−g(x2)>0
Zatem otrzymujemy sprzeczność.
Ostatecznie więc funkcja h=f+g jest rosnąca.
9 kwi 14:41
Jack: Hmm dzieki wielkie..czy metoda Oop jest poprawna?
Bo metoda Saizou to polega na definicji ale troche duzo pisania
9 kwi 15:31
Saizou :
tylko że ja pokazywałem coś innego, teraz to można uszczególnić dla
x
n=2•5
n−1+5n−10
i badać x
n+1>x
n (z monotoniczności)[tak możemy bo "dziedziną" ciągu są liczby naturalne]
| | xn+1 | |
tzn. zadaj sobie teraz pytanie co lepiej badać xn+1−xn>0 czy |
| >1 |
| | xn | |
9 kwi 17:24
jc: Przecież rzecz jest oczywista.
bn < bn+1
cn < cn+1
dodajemy stronami
xn = bn + cn < bn+1 + cn+1 = xn+1
To jest uzasadnie zdania z pierwszego wpisu.
9 kwi 17:58
Jack: czyli to wystarczy...
x
n = b
n + c
n < b
n+1 + c
n+1 = x
n+1
czy lepiej jak Saizou 17;24?
9 kwi 22:28