Różniczkowalność w zerze funkcji
palma: Korzystając z definicji zbadaj różniczkowalność w zerze funkcji
f(x, y)=
| xy | |
| dla (x, y)≠(0 ,0) |
| √x2+y2 | |
0 dla (x, y)=(0, 0)
jc: Pochodna w punkcie (x,y) istnieje, jeśli dla pewnych liczb a,b,
| | f(x+h,y+k) − f(x,y) − ah − bk | |
| |
| | →0 przy (h,k) →0 |
| | √h2+k2 | |
W naszym zadaniu badamy
| | hk/√h2+k2 − ah − bk | |
| |
| | |
| | √h2+k2 | |
Dalej t→0.
Zbliżając się do zera po drodze (h,k)=(t,0) stwierdzamy, że a=0.
Zbliżając się do zera po drodze (h,k)=(0,t) stwierdzamy, że b=0.
Wybierając drogę (h,k)=(t,t) otrzymujemy stałą wartość modułu = 1/2,
co nie da granicy 0. Dlatego pochodna w punkcjie (0,0) nie istnieje.
