Zastosowanie kombinatoryki w rachunku prawdopodobieństwa Paulina E.C.H: W pewnej klasie liceum jest 15 dziewcząt i 10 chłopców. Wybieramy losowo z tej klasy jednocześnie trzy osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób jest. a)Dokładnie dwóch chłopców b)Co najwyżej jedna dziewczyna c)Co najmniej jeden chłopiec

Metis: a) I − Wariacje bez powtórzeń. D_l− losowy wybór 3 osób spośród 25 |Ω|=25*24*23 A− wylosowano dokładnie dwóch chłopców |A|=10*9

	10*9		3
P(A)=		=
	25*24*23		460

II− Kombinacje. D_l− losowy wybór 3 osób spośród 25

	25 3
|Ω|=		=2300

A− wylosowano dokładnie dwóch chłopców

	10 2
|A|=		= 45

	45		9
P(A)=		=
	2300		460

Mam dylemat. Musi ktoś sprawdzić. b) i c) zdarzenia przeciwne.

Jerzy: Obydwa sposoby dobrze ... sprawdź obliczenia

Metis: Są − sprawdzałem kilka razy, nie wiem co nie tak z tym co zapisałem.

Jerzy: Już widzę ....

	10 2		15 1
II wariant IAI =		*

Metis: A jasne... Jeden "niezagospodarowany" element... Dzięki!

Paulina E.C.H: Sposób | jest prostszy, więc raczej tak będę wykonywała te zadania

Paulina E.C.H: w zadaniu b) trzeba policzyć prawdopodobieństwo wylosowania 2 chłopców i 3 chłopców?

Metis: Conajwyżej jedna dziewczyna − jedna i dwóch chłopców lub sami chłopcy (łatwiej kombinacjami! )

Jerzy: Fakt ...kombinacjami łatwiej

Jerzy: tzn trudniej .... więcej liczenia 1 d + 2 ch lub 3 ch

	15*10*9 + 10*9*8
P(A') =		i p(A) = 1 − P(A')
	25*24*23

Paulina E.C.H: To będzie

	10*9+10*27		360
P(A)=		=		?
	25*24*23		13800

Jerzy: Patrz wyzej .... to jest bez kombinacji

Paulina E.C.H: Już rozumiem

Paulina E.C.H: Jeszcze mi powiedzcie czemu tam jest zdarzenie przeciwne?

Jerzy: bo jest go łatwiej policzyć

Paulina E.C.H: Ale w ułamku podstawiłeś takie liczby jakbyś liczył P(A) A − Co najwyżej jedna dziewczyna

Jerzy: racja ... to jest już P(A) , nie liczymy P(A')

Paulina E.C.H: w podpunkcie a) nie powinno być |A|=10*9*15?

Metis: Powinno

Jerzy: Nie... musi być: dchch + chchd + chdch

Jerzy: bo tutaj istotna jest kolejność

Paulina E.C.H: W tedy obliczymy liczbę sposobów

Metis: Więc jak ostatecznie powinno być?

Paulina E.C.H: Ja już się pogubiłam, ale wydaje mi się, że coś jest źle liczone, bo wychodzi zbyt małe prawdopodobieństwo.

Paulina E.C.H: Ostatnio zrobiłam podobne zadanie za pomocą drzewek, to nauczycielka powiedziała mi, że jest źle.

Metis:

	25 3
b) |Ω|=		= 2300

A− wylosowano co najwyżej jedna dziewczyna ( losujemy 3 chłopców LUB dwóch i jedną dziewczynę)

	10 3		10 2
|A|=		+		*15

Metis: a) wylosowano dokładnie dwóch chłopców. I−Kombinacje. D_l − losowy wybór 3 osób z grupy 25

	25 3
|Ω|=		=2300

A− wylosowano dokładnie dwóch chłopców( dwóch chłopców i jedną dziewczynę)

	10 2
|A|=		* 15 =45 * 15 = 675

Na pods. kl. def. prawdopodobieństwa:

	675		27
P(A)=		=
	2300		92

=============================== II− wariacje bez powtórzeń ( uwzględniamy kolejność!) D_l − losowy wybór 3 osób z grupy 25 |Ω|=25*24*23=13 800 A− wylosowano dokładnie dwóch chłopców |A|= 3*(10*9*15) =4050 Na pods. kl. def. prawdopodobieństwa:

	4050		27
P(A)=		=
	13 800		92

Paulina E.C.H:

	10 2
|A|=		*15=90*15=1350

Nie powinno być tak?

Metis:

	10 2
Przecież		=45.

Paulina E.C.H:

	675
P(A)=
	2300

	795
P(B)=
	2300

	1845
P(C)=
	2300

Aga1.: W tym zadaniu (według mnie ) należy skorzystać z kombinacji ,bo losujemy jednocześnie 3 osoby(to tak jak wylosowanie jednocześnie 3 losów z urny)

	25 3		25*24*23 1*2*3
IΩI=		=		=2300

a) dokładnie 2 chłopców tzn 2 chłopców i 1 dziewczyna ( bo musi być trzy osoby)

	10 2		15 1
IAI=		*		=

b) Co najwyżej jedna dziewczyna tzn. 1 dziewczyna i 2 chłopców lub 0 dziewczyn i 3 chłopców

	15 1		10 2		15 0		10 3
IBI=		*		+		*		=

c)C− co najmniej 1 chłopiec tzn 1 chłopiec i 2 dziewczyny lub 2 chłopców i 1 dziewczyna lub 3 chłopców i 0 dziewczyn. Lub prościej C^'− same dziewczyny

	15 3
IC'I=		=

P(C)=1−P(C^')=

Jerzy: To,że losujemy jednocześnie, nie oznacza,że musimy stosować kombinacje Możemy przyjąć, że losujemy kolejno,ale już do końca trzymać się tego założenia, a obliczenia są prostsze

Aga1.: Wiem,że wynik końcowy będzie taki sam. W zadaniu zamkniętym pewnie liczyłabym inaczej, ale w zadaniu otwartym skorzystałabym z kombinacji.