Planimetria Dżin: W trójkąt ABC wpisano okrąg o środku w punkcie O. Prosta CO przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie D. Udowodnić, że iloczyn długości odcinków CO i DO jest dwa razy większy niż iloczyn promieni okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt ABC.

Kacper: Skąd zadanko? Jutro mogę pomyśleć jak coś

Dżin: Zadanie jest z ubiegłorocznego finału Konkursu PW

Dżin: ktoś coś?

Kacper: Może wieczorem jak będę miał trochę czasu.

Rafal44: Zadanie jest proste, jeśli zna się twierdzenie o trójlistniku: http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2015/03/01/MI_MB_MC/ Niech |OC|=x, |OD|=y, γ − miara kąta ACB, r i R − kolejno długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie ABC. Korzystając z udowodnionej w artykule zależności i twierdzenia sinusów w trójkącie DBC:

	BD		OD		y		γ
2R=		=		=		⇒y=2Rsin		.
	γ   sin   2		γ   sin   2		γ   sin   2		2

	γ		r		r
Pozostaje zauważyć, że sin		=		⇒x=		. Ostatecznie
	2		x		γ   sin   2

xy=2Rr, co kończy dowód. Rysunek tutaj: https://zapodaj.net/f1c59b041a34e.png.html

Dżin: Dzięki za pomoc