Dowodzenia z zastosowaniem ułamków algebraicznych Whale: 1) Udowodnij, że jeśli a,b > 0 oraz a+b = 1 to a²+b² ≥ 1/2 2) Udowodnij, że jeśli, a,b > 0 oraz a+b = 1 to a⁴+b⁴ ≥ 1/8

Whale: (a²+b²)/2 ≥ √a²b² z tego trzeba skorzystać?

Smule: można ale nie trzeba

Smule: 1. 2a² + 2b² >> 1 a + b = 1 (a + b)² = 1 2a² + 2b² >> a² + 2ab + b² a² + b² − 2ab >> 0 (a − b)² >> 0

jc:

	1		(a+b)2		1
a2 + b2 =		[ (a+b)2 + (a−b)]2 ≥		=
	2		2		2

	1		1		1
a4 + b4 =		[ (a2+b2)2 + (a2−b2)]2 ≥		(a2+b2)2 ≥
	2		2		8

Ostatnia nierównosć wynika z z pierwszego podpunktu. Nie trzeba zakładać, że a, b są dodatnie. Można tak, jak piszesz skorzystać z nierówności pomiędzy średnimi.

Rafal44: 1) Z nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną dla liczb dodatnich a i b:

	a2+b2		a+b		1
√		≥		=
	2		2		2

a2+b2		1
	≥
2		4

	1
a2+b2≥
	2

2) Z nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną dla liczb dodatnich a² i b²:

	a4+b4		a2+b2		1
√		≥		≥		(poprzedni dowód)
	2		2		4

a4+b4		1
	≥
2		16

	1
a4+b4≥
	8

jc: Dwa kwadraty wpisały mi się kawałek za daleko ... powinno być )²] zamiast )]²