funkcja toczynieto: f(x)=3^x + 3^−x. Wykaż ze jesli liczby a,b sa nieujemne i a>b to f(a)>f(b)

ICSP: f(x) = 3^x + 3^−x , x ≥ 0 f'(x) = ln3 * (3^x − 3^−x) f'(x) ≥ 0 ⇒ 3^x − 3^−x ≥ 0 ⇒ 3^x ≥ 3^−x ⇒ x ≥ − x ⇒ x ≥ 0 Funkcja f na przedziale [0 , ∞) jest funkcją rosną. Wprost z definicji funkcji rosnacej wynika teza. Inaczej : f(x) = 3^x + 3^−x = 2ch(x*ln3) Wiemy, ze cosinus hiperboliczny jest na przedziale [0,∞) funkcją rosnacą. Wystarczy ponownie wykorzystac definicje funkcji rosnącej.

kochanus_niepospolitus: lub bez pochodnych za to idąc z definicji monotoniczności:

	32x + 1
3x + 3−x =
	3x

	3a + 1		3b + 1
f(a) − f(b) =		−		= // skoro a>b to a = b+c ; gdzie c>0 // =
	3a		3b

	32(b+c) + 1		3b + 1
=		−		=
	3b+c		3b

	3c		1   3b*3c +   3c		3b + 1
=		*		−		=
	3c		3b		3b

	1   3b*3c + − 3b − 1   3c		1   3b(3c−1) − (3c−1)   3c
=		=		=
	3b		3b

	1   (3b − )(3c−1)   3c
=		= (*)
	3b

I teraz: c>0 ; więc 3^c > 1 ; więc 3^c−1 > 0

	1
b>0 ; więc 3b > 1 ... a także mamy c>0 ; więc 3c > 1 ; więc		< 1 .... co w sumie
	3c

	1
daje nam: 3b −		> 0
	3c

stąd: licznik jest dodatni, mianownik oczywiście także, a więc: (*) > 0 c.n.w.

kochanus_niepospolitus: lub 'prościej' z definicji:

	32a − 1		32b − 1
f(a) − f(b) =		−		=
	3a		3b

	32a3b − 3b − 32b3a + 3a		3a+b(3a−3b) + (3a−3b)
=		=		=
	3a*3b		3a+b

	(3a−3b)(3a+b +1)
=
	3a+b

i mamy: a>b, więc 3^a>3^b a,b>0, więc 3^a+b > 0, więc 3^a+b+1 > 0 więc licznik >0 i mianownik >0

kochanus_niepospolitus: można także: f(x) = 3^x + 3^−x

	1
g(t) = t +		; gdzie t = 3x
	t

	1		t2 − 1
g'(t) = 1 −		=
	t2		t2

g'(t) > 0 gdy t>1 ... czyli g(t) rosnąca na przedziale (1;+∞) więc f(x) rosnąca na przedziale (0,+∞)