Uzasadnić, że żadna z liczb 11, 11 111, ... nie jest kwadratem liczby naturalnej Michau: Uzasadnić, że żadna z liczb 11, 11 111, 11 111 111, 11 111 111 111, . . . nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Godzio: Kwadrat dowolnej liczby naturalnej niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. 11, 11 111, 11 111 111, ... Suma cyfr n − tej takiej liczby to 3n − 1, więc są to liczby niepodzielne przez 3. Sprawdźmy jaką resztę daje dowolna taka liczba przy dzieleniu przez 3: 11 : 3 daje 3 reszty 2 11 111 : 3 daje 3703 reszty 2 Co daje nam podstawę sądzić, że zawsze tak będzie, zatem spróbujmy zrobić to dla dowolnej takiej liczby: 11 111 ... 111 = 11 111 ... 1109 + 2 Suma cyfr liczby 11 111 ... 1109 to (3n − 1) − 2 + 9 = 3n + 6 (z początkowej sumy cyfr znikają dwie jedynki a w ich miejsce pojawia się 9) A zatem jest to liczba podzielna przez 3, a liczba 11 111 ... 1109 + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, zatem liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Michau: Dziękuje.

ojojoj: jak się wyznacza sumę cyfr

ojojoj: Godzio ?

Mila: Suma cyfr każdej z wymienionych liczb jest równa : 3k+2 gdzie k∊N⇔ Przy dzieleniu tych liczb przez 3 otrzymujemy resztę 2. Kwadrat dowolnej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 lub 1. (Postaraj się to wykazać.)

Mila: Wniosek − żadna z wymienionych liczb nie jest kwadratem liczby naturalnej.