planimetria Karolcia: Bok AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Srodkowe AE i BF przecinają się pod kątem prostym. Oblicz cosα, gdzie α=ACB

Karolcia: x

:): .

g: Prostopadłość przecięcia środkowych można zapisać tak:

	A+C		B+C
(		− B) * (		− A) = 0
	2		2

	A+C
Trzeba to rozumieć tak:		= D to punkt przecięcia środkowej z odcinkiem AC,
	2

D−B to wektor o początku D i końcu B, a '*' to iloczyn wektorowy. To równanie łatwo doprowadzić do: −2(A − B)² + (C−A)*(C−B) = 0 A tu już pojawia się cosα, bo to równanie to −2c² = a b cosα gdzie a,b,c to długości boków przeciwległych do wierzchołków A,B,C. Do tego trzeba dodać wzóc cosinusów c² = a² + b² − 2 a b cosα, oraz warunek a = b, i można wyliczyć cosα = 4/5.

iza: 1/ Środkowe w trójkącie dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka zatem |AS|=BS|=2x i |FS|=ES|=x , x>0 2/ z treści zadania środkowe są prostopadłe , to dwa razy tw. Pitagorasa b²=5x² i a²=8x² 3/ z tw. kosinusów w ΔABC

	(2b)2+(2b)2−a2		4
cosα=		=................... =
	2*2b*2b		5